天津市耀华中学2013—2014学年高三上数学(理科)12月份月考试题及

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天津市耀华中学2013—2014学年高三上数学(理科)12月份月考试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
  1. 复数
A.      B.   C.     D. 
  2. 条件甲： ；条件乙： ，则甲是乙的来源苏州进步网www.szjjedu.com
A. 充要条件    B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件  D. 既不充分也不必要条件
  3. 设x，y满足 ，则
A. 有最小值2，最大值3   B. 有最小值2，无最大值
C. 有最大值3，无最小值   D. 既无最小值，也无最大值
  4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是来源苏州进步网www.szjjedu.com
    A. 4   B. 5   C. 6   D. 7
  5. 已知等比数列{an}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列 的前5项和为
A.     B. 2   C.     D. 
  6. 将函数 的图像向右平移 个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的 倍，所得图像关于直线 对称，则 的最小正值为
A.     B.    C.     D. 
  7. 设F是抛物线 的焦点，点A是抛物线与双曲线 =1
的一条渐近线的一个公共点，且 轴，则双曲线的离心率为
A. 2    B.    C.     D. 
  8. 若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数 的图像上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数 的一对“友好点对”（注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）。已知函数 ，则此函数的“友好点对”有
A. 0对   B. 1对  C. 2对   D. 3对
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
  9. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_______；来源苏州进步网www.szjjedu.com
  10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________；

  11. 若⊙ 与⊙ 相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是____________________；来源苏州进步网www.szjjedu.com
  12. 已知函数 在区间[ ]上是减函数，那么b+c的最大值为________________；
  13. 如图所示，在平行四边形ABCD中， ，垂足为P，且 ，则 =
_______；

  14. 设{an}是等比数列，公比 ，Sn为{an}的前n项和。记 ， ，设 为数列{Tn}的最大项，则n0=__________；
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
  15. （本小题满分13分）已知函数
（1）求 的单调递增区间；来源苏州进步网www.szjjedu.com
（2）在△ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 ，b,a,c成等差数列，且 ，求a的值。
  16. （本小题满分13分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场。每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 。来源苏州进步网www.szjjedu.com
（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；来源苏州进步网www.szjjedu.com
（2）设在该次比赛中，甲得分为 ，求 的分布列和数学期望。
  17. （本小题满分13分）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD， ，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD。来源苏州进步网www.szjjedu.com
（1）求证：AB⊥平面PBC；
（2）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小；来源苏州进步网www.szjjedu.com
（3）在棱PB上是否存在点M使得CM//平面PAD？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。

  18. （本小题满分13分）如图F1、F2为椭圆 的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率 ， 。若点 在椭圆C上，则点 称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q。

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由。
  19. （本小题满分14分）已知函数 ， ，其中无理数e=2.71828…。
（1）若p=0，求证： ；
（2）若 在其定义域内是单调函数，求p的取值范围；
（3）对于在区间（1,2）中的任意常数p，是否存在 使得 成立？若存在，求出符合条件的一个x0；若不存在，请说明理由。
  20. （本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和 ，数列{bn}满足 。
（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设数列 的前n项和为Tn，证明： 且 时， ；
（3）设数列{cn}满足 （ 为非零常数， ），问是否存在整数 ，使得对任意 ，都有 。

数学发展性试题（理科）：（15分）
  1. 若 且 ，则 的最小值为（   ）
A.     B.     C.     D. 
  2. 对于各数互不相等的整数数组 （n是不小于3的正整数），若对任意的p， ，当 时有 ，则称 是该数组的一个“逆序”。一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2,3,1）的逆序数等于2。若数组 的逆序数为n，则数组 的逆序数为_________；
  3. 定义在 上的函数 ，当 时 。若 ，则P,Q,R的大小关系为_____________。

答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A A B D C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
  9. 18    10. 80   11. 4   12.     13. 18   14. 4
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
  15. 解：（1）

令
的单调递增区间为
（2）由 ，得
∵ ，∴ ，∴
由b,a,c成等差数列得2a=b+c
∵ ，∴ ，∴
由余弦定理，得
∴ ，∴
  16. 解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，所以甲获第一的概率为
丙获第二，则丙胜乙，其概率为 ，
所以甲获第一名且丙获第二名的概率为
（2） 可能取的值为0,3,6.
所以 的分布列为

0 3 6
P 



E =
  17. 解：（1）证明：因为 ，所以AB⊥BC
因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC。
（2）

如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC。因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD。以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz。
不妨设BC=2。由AB=PB=PC=BC=2CD得，
。
所以 ，
设平面PAD的法向量为 .
因为 ，所以
令 ，则 。所以 。
取平面BCP的一个法向量 ，
所以
所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为
（3）

在棱PB上存在点M使得CM//平面PAD，此时 。取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN//PA，AN= AB。因为AB=2CD，所以AN=CD，因为AB//CD，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN//AD。
因为MN∩CN=N，PA∩AD=A，所以平面MNC//平面PAD。
因为CM 平面MNC，所以CM//平面PAD。
18. 解：（1）由题意得 ，故 ，
，
故 ，即a=2，所以b=1，c= ，故椭圆C的标准方程为 。
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为
联立 解得 或 ，不妨令 ，
所以对应的“椭点”坐标 。而 .
所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点。
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
联立 ，消去y得：
设 ，则这两点的“椭点”坐标分别为 ，由根与系数的关系可得： ，
若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点，则OP⊥OQ，
而 ，因此 ，
即 即 =0，解得
所以直线方程为 或
  19. 解：（1）证明：当p=0时， 。
令 ，则
若 ，则 ， 在区间 上单调递增；
若 ，则 ， 在区间 上单调递减。
易知，当x=1时， 取得极大值，也是最大值。
于是 ，即 ，即
故若p=0，有
（2） ，令
①当p=0， ，则 在 上单调递减，故当p=0时符合题意；
②若p>0，
则当 ，即 时， 在x>0上恒成立，故当 时， 在 上单调递增；
③若p<0， 的图像的对称轴为 ， ，则 在x>0上恒成立，故当p<0时， 在 上单调递减。
综上所述，
（3）令 ，则原问题等价于是否存在x0>0使得 成立，故只需满足 即可。
因为
而 ，故 ，
故当 时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，则 在 上单调递增。
易知 与上述要求的 相矛盾，故不存在 使得 成立。
  20. 解：（1）在 中，令n=1，可得 ，即
当 时， ，∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，∴ ，即当 时， .
又 ，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
于是 ，∴ .
（2）由（1）得 ，所以
   ①
   ②
由①－②得

∴

于是确定Tn与 的大小关系等价于比较 与2n+1的大小
由
可猜想当 时， .证明如下：
证法1：①当n=3时，由上验算显示成立。
②假设n=k+1时

所以当n=k+1时猜想也成立
综合①②可知，对一切 的正整数，都有 .
证法2：当 时
     综上所述，当n=1,2时 ，当 时
（3）∵
∴

∴   ①
当n=2k－1，k=1,2,3,……时，①式即为   ②
依题意，②式对k=1,2,3……都成立，∴
当n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为   ③
依题意，③式对k=1,2,3……都成立，
∴   ∴ ，又
∴存在整数 ，使得对任意 有 .

数学发展性试题
  1. D    2.     3.