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2014年江苏常州中考数学试题及答案解析word版


作者:苏州进步网 来源:苏州进步网(www.szjjedu.com) 发布时间:2015-02-02 阅读次数:





2014年江苏常州中考数学试题答案解析word版
一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,满分16分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2分)(2014•常州)﹣ 的相反数是(  )来源进步网www.szjjedu.com
  A.   B. ﹣  C. ﹣2 D. 2

考点: 相反数.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数.
解答: 解:﹣ 的相反数是 ,
故选:A.
点评: 本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
 
2.(2分)(2014•常州)下列运算正确的是(  )
  A. a•a3=a3 B. (ab)3=a3b C. (a3)2=a6 D. a8÷a4=a2

考点: 同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
分析: 根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方与积的乘方的知识求解即可求得答案.
解答: 解:A、a•a3=a4,故A选项错误;来源进步网www.szjjedu.com
B、(ab)3=a3b3,故B选项错误;
C、(a3)2=a6,故C选项正确;
D、a8÷a4=a4,故D选项错误.
故选:C.
点评: 此题考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方与积的乘方等知识,熟记法则是解题的关键.
 
3.(2分)(2014•常州)下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是(  )
  A. 
B. 
C. 
D. 


考点: 几何体的展开图.
分析: 圆锥的侧面展开图是扇形.来源进步网www.szjjedu.com

解答: 解:根据圆锥的特征可知,侧面展开图是扇形的是圆锥.
故选B.
点评: 解题时勿忘记圆锥的特征及圆锥展开图的情形.来源进步网www.szjjedu.com

 
4.(2分)(2014•常州)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击成绩平均数均是9.2环,方差分别为S甲2=0.56,S乙2=0.60,S丙2=0.50,S丁2=0.45,则成绩最稳定的是(  )
  A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

考点: 方差.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
解答: 解;∵S甲2=0.56,S乙2=0.60,S丙2=0.50,S丁2=0.45,
∴S丁2=<S丙2<S甲2<S乙2,
∴成绩最稳定的是丁;
故选D.
点评: 本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.来源进步网www.szjjedu.com

 
5.(2分)(2014•常州)已知两圆半径分别为3cm,5cm,圆心距为7cm,则这两圆的位置关系为(  )
  A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离

考点: 圆与圆的位置关系.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 根据数量关系来判断两圆的位置关系.设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为d:外离,则d>R+r;外切,则d=R+r;相交,则R﹣r<d<R+r;内切,则d=R﹣r;内含,则d<R﹣r.
解答: 解:∵两圆的半径分别是3cm和5cm,圆心距为7cm,
5﹣3=2,3+5=8,
∴2<7<8,
∴两圆相交.
故选A.来源进步网www.szjjedu.com

点评: 此题考查了圆与圆的位置关系.注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系是解此题的关键.
 
6.(2分)(2014•常州)已知反比例函数y= 的图象经过点P(﹣1,2),则这个函数的图象位于(  )
  A. 第二,三象限 B. 第一,三象限 C. 第三,四象限 D. 第二,四象限

考点: 反比例函数的性质;待定系数法求反比例函数解析式.
专题: 压轴题;待定系数法.
分析: 先把点代入函数解析式,求出k值,再根据反比例函数的性质求解即可.
解答: 解:由题意得,k=﹣1×2=﹣2<0,
∴函数的图象位于第二,四象限.
故选:D.来源进步网www.szjjedu.com

点评: 本题考查了反比例函数的图象的性质:k>0时,图象在第一、三象限,k<0时,图象在第二、四象限.
 
7.(2分)(2014•常州)甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象.以下说法:①乙比甲提前12分钟到达;②甲的平均速度为15千米/小时;③乙走了8km后遇到甲;④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有(  )

  A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

考点: 函数的图象.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 观察函数图象可知,函数的横坐标表示时间,纵坐标表示路程,然后根据图象上特殊点的意义进行解答.
解答: 解:①乙在28分时到达,甲在40分时到达,所以乙比甲提前了12分钟到达;故①正确;
②根据甲到达目的地时的路程和时间知:甲的平均速度=10÷ =15千米/时;故②正确;
④设乙出发x分钟后追上甲,则有: ×x= ×(18+x),解得x=6,故④正确;
③由④知:乙第一次遇到甲时,所走的距离为:6× =6km,故③错误;
所以正确的结论有三个:①②④,
故选B.来源进步网www.szjjedu.com

点评: 读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义,理解问题叙述的过程,能够通过图象得到函数是随自变量的增大,知道函数值是增大还是减小.
 
8.(2分)(2014•常州)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点A(﹣3,0),点B(0, ),点P的坐标为(1,0),⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左平移,平移后得到⊙P′(点P的对应点为点P′),当⊙P′与直线l相交时,横坐标为整数的点P′共有(  )来源进步网www.szjjedu.com
  A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

考点: 直线与圆的位置关系;一次函数的性质.
分析: 在解答本题时要先求出⊙P的半径,继而求得相切时P′点的坐标,根据A(﹣3,0),可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值.
解答: 解:如图所示,∵点P的坐标为(1,0),⊙P与y轴相切于点O,
∴⊙P的半径是1,来源进步网www.szjjedu.com
若⊙P与AB相切时,设切点为D,由点A(﹣3,0),点B(0, ),
∴OA=3,OB= ,由勾股定理得:AB=2 ,∠DAM=30°,
设平移后的圆心为M(即对应的P′),
∴MD⊥AB,MD=1,又因为∠DAM=30°,
所以M点的坐标为(﹣1,0),即对应的P′点的坐标为(﹣1,0),
所以当⊙P′与直线l相交时,横坐标为整数的点的横坐标可以是﹣2,﹣3,﹣4共三个.
故选:C.


点评: 本题考查了圆的切线的性质的综合应用,解答本题的关键在于找到圆与直线相切时对应的圆心的坐标,然后结合A点的坐标求出对应的圆心的横坐标的整数解.
 
二、填空题(本大题共9小题,每小题4分,满分20分.)
9.(4分)(2014•常州)计算:|﹣1|= 1 ,2﹣2=   ,(﹣3)2= 9 , = ﹣2 .
考点: 立方根;绝对值;有理数的乘方;负整数指数幂.
分析: 运用立方根,绝对值,有理数的乘方和负整数指数幂的法则计算.
解答: 解::|﹣1|=1,
2﹣2= ,
(﹣3)2=9,
=﹣2.
故答案为:1, ,9,﹣2.
点评: 本题主要考查了立方根,绝对值,有理数的乘方和负整数指数幂的知识,解题的关键是熟记法则.
 
10.(2分)(2014•常州)已知P(1,﹣2),则点P关于x轴的对称点的坐标是 (1,2) .
考点: 关于x轴、y轴对称的点的坐标.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 根据关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数.即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,﹣y),进而得出答案.
解答: 解:∵P(1,﹣2),
∴点P关于x轴的对称点的坐标是:(1,2).
故答案为:(1,2).
点评: 此题主要考查了关于x轴对称点的性质,正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键.
 
11.(2分)(2014•常州)若∠α=30°,则∠α的余角等于 60 度,sinα的值为   .
考点: 特殊角的三角函数值;余角和补角.
分析: 根据互为余角的两个角的和为90度求得∠α的余角的度数;根据特殊角的三角函数值求得sinα的值.
解答: 6解:∵∠A=30°,
∴∠A的余角是:90°﹣30°=60°;
sinα=sin30°= ,
故答案为:60, .
点评: 本题主要考查了特殊角的三角函数值以及余角的定义:如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余;也可以说其中一个角是另一个角的余角,
 
12.(2分)(2014•常州)已知扇形的半径为3cm,此扇形的弧长是2πcm,则此扇形的圆心角等于 120 度,扇形的面积是 3πcm2 .(结果保留π)来源进步网www.szjjedu.com
考点: 扇形面积的计算;弧长的计算.
分析: 设扇形的圆心角的度数是n°,根据弧长公式即可列方程求得n的值,然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积.
解答: 解:设扇形的圆心角的度数是n°,则
=2π,来源进步网www.szjjedu.com
解得:n=120,
扇形的面积是: =3π(cm2).
故答案是:120,3πcm2.
点评: 本题考查弧长公式和扇形的面积公式,正确记忆公式是关键.
 
13.(2分)(2014•常州)已知反比例函数y= ,则自变量x的取值范围是 x≠0 ;若式子 的值为0,则x= ﹣3 .
考点: 函数自变量的取值范围;二次根式的定义;反比例函数的定义.
分析: 根据分母不等于0列式计算即可得解;
根据二次根式的定义列出方程求解即可.来源进步网www.szjjedu.com

解答: 解:反比例函数y= 的自变量x的取值范围是x≠0,
=0,来源进步网www.szjjedu.com
解得x=﹣3.
故答案为:x≠0,﹣3.
点评: 本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;来源进步网www.szjjedu.com
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
 
14.(2分)(2014•常州)已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1,则m= 2 ,另一个根为 2 .
考点: 一元二次方程的解;根与系数的关系.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 根据方程有一根为1,将x=1代入方程求出m的值,确定出方程,即可求出另一根.
解答: 解:将x=1代入方程得:1﹣3+m=0,
解得:m=2,来源进步网www.szjjedu.com
方程为x2﹣3x+2=0,即(x﹣1)(x﹣2)=0,
解得:x=1或x=2,
则另一根为2.
故答案为:2,2.
点评: 此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
 
15.(2分)(2014•常州)因式分解:x3﹣9xy2= x(x+3y)(x﹣3y) .
考点: 提公因式法与公式法的综合运用.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
解答: 解:x3﹣9xy2,
=x(x2﹣9y2),
=x(x+3y)(x﹣3y).
点评: 本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
 
16.(2分)(2014•常州)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=10﹣x的图象与函数y= (x>0)的图象相交于点A,B.设点A的坐标为(x1,y1),那么长为x1,宽为y1的矩形的面积为 6 ,周长为 20 .

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析: 解由两函数组成的方程组,求出A的坐标,再根据矩形的性质求出面积和周长即可.
解答: 解:解方程组 得: , ,
根据图象知:x1=5﹣ ,y1=5﹣ ,
即长为x1,宽为y1的矩形的面积是(5﹣ )×(5+ )=6,周长是2(5﹣ +5+ )=20,
故答案为:6,20.
点评: 此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点,必须先求出交点坐标,难易程度适中.
 来源进步网www.szjjedu.com
17.(2分)(2014•常州)在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(1,1),与x轴交于点A,与y轴交于点B,且tan∠ABO=3,那么点A的坐标是 (﹣2,0)或(4,0) .
考点: 待定系数法求一次函数解析式;锐角三角函数的定义.
专题: 压轴题.
分析: 已知tan∠ABO=3就是已知一次函数的一次项系数是 或﹣ .根据函数经过点P,利用待定系数法即可求得函数解析式,进而可得到A的坐标.
解答: 解:在Rt△AOB中,由tan∠ABO=3,可得OA=3OB,则一次函数y=kx+b中k=± .
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(1,1),
∴当k= 时,求可得b= ;
k=﹣ 时,求可得b= .来源进步网www.szjjedu.com
即一次函数的解析式为y= x+ 或y=﹣ x+ .
令y=0,则x=﹣2或4,
∴点A的坐标是(﹣2,0)或(4,0).
故答案为:(﹣2,0)或(4,0).


点评: 本题考查求一次函数的解析式及交点坐标.
 
三、解答题(本大题共2小题,满分18分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(8分)(2014•常州)计算与化简:
(1) ﹣(﹣ )0+2tan45°;
(2)x(x﹣1)+(1﹣x)(1+x).来源进步网www.szjjedu.com
考点: 整式的混合运算;实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
分析: (1)先求出每一部分的值,再代入合并即可;
(2)先算乘法,再合并同类项即可.
解答: 解:(1)原式=2﹣1+2×1
=2﹣1+2
=﹣1;
(2)原式=x2﹣x+1﹣x2
=1﹣x.
点评: 本题考查了二次根式的性质,零指数幂,特殊角的三角函数值,整式的混合运算的应用,主要考查学生的计算能力,题目比较好,难度适中.
 
19.(10分)(2014•常州)解不等式组和分式方程:
(1) ;来源进步网www.szjjedu.com
(2) .
考点: 解一元一次不等式组;解分式方程.
专题: 计算题.
分析: (1)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可;
(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
解答: 解:(1) ,
由①得:x>1,
由②得:x>﹣2,
则不等式组的解集为:x>1;
(2)去分母得:3x+2=x﹣1,
移项得:3x﹣x=﹣1﹣2,即2x=﹣3,
解得:x=﹣ ,
经检验x=﹣ 是分式方程的解.
点评: 此题考查了解一元一次不等式组,以及解分式方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
四.解答题:
20.(7分)(2014•常州)为迎接“六一”儿童节的到来,某校学生参加献爱心捐款活动,随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析,相应数据的统计图如下:来源进步网www.szjjedu.com
(1)该校本的容量是 50 ,样本中捐款15元的学生有 10 人;
(2)若该校一共有500名学生,据此样本估计该校学生的捐款总数.

考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
分析: (1)用捐5元的人数除以所占的百分比即是样本容量,用总人数减去捐5元与10元的人数即是捐款15元的学生人数;
(2)求出平均每人的捐款数再乘以该校人数即可得学生的捐款总数.
解答: 解:(1)15÷30%=50(人),50﹣15﹣25=10(人),
故答案为:50,10;来源进步网www.szjjedu.com

(2)平均每人的捐款数为: ×(5×15+10×25+15×10)=9.5(元),
9.5×500=4750(元),
答:该校学生的捐款总数为4750元.
点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
 
21.(8分)(2014•常州)一只不透明的箱子里共有3个球,把它们的分别编号为1,2,3,这些球除编号不同外其余都相同.
(1)从箱子中随机摸出一个球,求摸出的球是编号为1的球的概率;
(2)从箱子中随机摸出一个球,记录下编号后将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球并记录下编号,求两次摸出的球都是编号为3的球的概率.
考点: 列表法与树状图法;概率公式.
分析: (1)直接利用概率公式求解即可;
(2)首先列出树状图,然后利用概率公式求解即可.
解答: 解:(1)从箱子中随机摸出一个球,摸出的球是编号为1的球的概率为: ;
(2)画树状图如下:来源进步网www.szjjedu.com

共有9种等可能的结果,两次摸出的球都是编号为3的球的概率为 .
点评: 本题考查了列表法与树状图法级概率公式,难点在于正确的列出树形图,难点中等.
 
五.解答题(本大题共2小题,共12分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出证明过程)
22.(5分)(2014•常州)已知:如图,点C为AB中点,CD=BE,CD∥BE.
求证:△ACD≌△CBE.

考点: 全等三角形的判定.
专题: 证明题.
分析: 根据中点定义求出AC=CB,根据两直线平行,同位角相等,求出∠ACD=∠B,然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE.
解答: 证明:∵C是AB的中点(已知),
∴AC=CB(线段中点的定义).
∵CD∥BE(已知),
∴∠ACD=∠B(两直线平行,同位角相等).
在△ACD和△CBE中,

∴△ACD≌△CBE(SAS).
点评: 本题主要考查了全等三角形的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
 
23.(7分)(2014•常州)已知:如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,连接DE,DF,BE,BF.四边形DEBF为平行四边形.
求证:四边形ABCD是平行四边形.

考点: 平行四边形的判定与性质.
专题: 证明题.
分析: 由“平行四边形的对角线相互平分”推知OD=OB,OE=OF;然后结合已知条件推知四边形ABCD的对角线互相平分,则易证得结论.
解答: 证明:如图,连结BD交AC于点O.
∵四边形DEBF为平行四边形,
∴OD=OB,OE=OF,
∵AF=CE,
∴AF﹣EF=CE﹣EF,即AE=CF,
∴AE+OE=CF+OF,即OA=OC
∴四边形ABCD是平行四边形.


点评: 本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
 
六.画图与应用(本大题共5小题,请在答题卡指定区域内作答,共14分)
24.(7分)(2014•常州)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知Rt△DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D在y轴上,点E在x轴上,在△ABC中,点A,C在x轴上,AC=5.∠ACB+∠ODE=180°,∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图(保留作图痕迹):

(1)将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN(其中点D的对应点为点M,点E的对应点为点N),画出△OMN;
(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′(其中点A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′),使得B′C′与(1)中的△OMN的边NM重合;
(3)求OE的长.
考点: 作图-旋转变换;作图-平移变换.
专题: 作图题.
分析: (1)以点O为圆心,以OE为半径画弧,与y轴正半轴相交于点M,以OD为半径画弧,与x轴负半轴相交于点N,连接MN即可;
(2)以M为圆心,以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A′,B′与N重合,C′与M重合,然后顺次连接即可;
(3)设OE=x,则ON=x,作MF⊥A′B′于点F,判断出B′C′平分∠A′B′O,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x,F C′=O C′=OD=3,利用勾股定理列式求出A′F,然后表示出A′B′、A′O,在Rt△A′B′O中,利用勾股定理列出方程求解即可.
解答: 解:(1)△OMN如图所示;
(2)△A′B′C′如图所示;
(3)设OE=x,则ON=x,作MF⊥A′B′于点F,
由作图可知:B′C′平分∠A′B′O,且C′O⊥O B′,
所以,B′F=B′O=OE=x,F C′=O C′=OD=3,
∵A′C′=AC=5,
∴A′F= =4,
∴A′B′=x+4,A′O=5+3=8,
在Rt△A′B′O中,x2+82=(4+x)2,
解得x=6,
即OE=6.


点评: 本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,勾股定理,熟练掌握性质变化与平移变化的性质是解题的关键.
 
25.(7分)(2014•常州)某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销量(件)与每件的销售价x(元/件)如下表:
x(元/件) 38 36 34 32 30 28 26
t件) 4 8 12 16 20 24 28
假定试销中每天的销售号 (件)与销售价x(元/件)之间满足一次函数.
(1)试求与x之间的函数关系式;
(2)在商品不积压且不考虑其它因素的条件下,每件服装的销售定价为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?(注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价)
考点: 二次函数的应用.
分析: (1)设y与x的函数关系式为t=kx+b,将x=38,y=4;x=36,y=8分别代入求出k、b,即可得到t与x之间的函数关系式;
(2)根据利润=(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式,利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少.
解答: 解:(1)设与x之间的函数关系式为:t=kx+b,因为其经过(38,4)和(36,8)两点,
∴ ,
解得: .
故y=﹣2x+80.

(2)设每天的毛利润为w元,每件服装销售的毛利润为(x﹣20)元,每天售出(80﹣2x)件,
则w=(x﹣20)(80﹣2x)=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200,
当x=30时,获得的毛利润最大,最大毛利润为200元.
点评: 本题主要考查运用待定系数法求一次函数的解析式及二次函数的应用,根据利润=(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式,另外要熟练掌握二次函数求最值的方法.
 
26.(8分)(2014•常州)我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]=2,[3]=3,[﹣2.5]=﹣3;用<a>表示大于a的最小整数,例如:<2.5>=3,<4>=5,<1.5>>=﹣1.解决下列问题:
(1)[﹣4.5]= ﹣5 ,<3.5>= 4 .
(2)若[x]=2,则x的取值范围是 1<x≤2 ;若<y>=﹣1,则y的取值范围是 ﹣2≤y<﹣1 .
(3)已知x,y满足方程组 ,求x,y的取值范围.
考点: 一元一次不等式组的应用.
专题: 新定义.
分析: (1)根据题目所给信息求解;
(2)根据[2.5]=2,[3]=3,[﹣2.5]=﹣3,可得[x]=2中的1<x≤2,根据<a>表示大于a的最小整数,可得<y>=﹣1中,﹣2≤y<﹣1;
(3)先求出[x]和<y>的值,然后求出x和y的取值范围.
解答: 解:(1)由题意得,[﹣4.5]=﹣5,<3.5>=4;
(2)∵[x]=2,
∴则x的取值范围是1<x≤2;
∵<y>=﹣1,
∴y的取值范围是﹣2≤y<﹣1;
(3)解方程组得: ,
∴x,y的取值范围分别为﹣1≤x<0,2≤y<3.
点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是读懂题意,根据题目所给的信息进行解答.
 
27.(7分)(2014•常州)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣ x2+ x+2的图象与x轴交于点A,B(点B在点A的左侧),与y轴交于点C.过动点H(0,m)作平行于x轴的直线l,直线l与二次函数y=﹣ x2+ x+2的图象相交于点D,E.
(1)写出点A,点B的坐标;
(2)若m>0,以DE为直径作⊙Q,当⊙Q与x轴相切时,求m的值;
(3)直线l上是否存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题.
分析: (1)A、B两点的纵坐标都为0,所以代入y=0,求解即可.
(2)由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处,则Q的横坐标为 ,可推出D、E两点的坐标分别为:( ﹣m,m),( +m,m).因为D、E都在抛物线上,代入一点即可得m.
(3)使得△ACF是等腰直角三角形,重点的需要明白有几种情形,分别以三边为等腰三角形的两腰或者底,则共有3种情形;而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形,故共有6种情形.求解时.利用全等三角形知识易得m的值.
解答: 解:(1)当y=0时,有 ,
解得:x1=4,x2=﹣1,
∴A、B两点的坐标分别为(4,0)和(﹣1,0).

(2)∵⊙Q与x轴相切,且与 交于D、E两点,
∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处,
∵抛物线的对称轴为 ,⊙Q的半径为H点的纵坐标m(m>0),
∴D、E两点的坐标分别为:( ﹣m,m),( +m,m)
∵E点在二次函数 的图象上,
∴ ,
解得 或 (不合题意,舍去).

(3)存在.
①如图1,

当∠ACF=90°,AC=FC时,过点F作FG⊥y轴于G,
∴∠AOC=∠CGF=90°,
∵∠ACO+∠FCG=90°,∠GFC+∠FCG=90°,
∴∠ACO=∠CFG,
∴△ACO≌△∠CFG,
∴CG=AO=4,
∵CO=2,
∴m=OG=2+4=6;
反向延长FC,使得CF=CF′,此时△ACF′亦为等腰直角三角形,
易得yC﹣yF′=CG=4,
∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2.
②如图2,

当∠CAF=90°,AC=AF时,过点F作FP⊥x轴于P,
∵∠AOC=∠APF=90°,∠ACO+∠OAC=90°,∠FAP+∠OAC=90°,
∴∠ACO=∠FAP,
∴△ACO≌△∠FAP,
∴FP=AO=4,
∴m=FP=4;
反向延长FA,使得AF=AF′,此时△ACF’亦为等腰直角三角形,
易得yA﹣yF′=FP=4,
∴m=0﹣4=﹣4.
③如图3,

当∠AFC=90°,FA=FC时,则F点一定在AC的中垂线上,此时存在两个点分别记为F,F′,
分别过F,F′两点作x轴、y轴的垂线,分别交于E,G,D,H.
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°,
∴∠DFC=∠EFA,
∵∠CDF=∠AEF,CF=AF,
∴△CDF≌△AEF,
∴CD=AE,DF=EF,
∴四边形OEFD为正方形,
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD,
∴4=2+2•CD,
∴CD=1,
∴m=OC+CD=2+1=3.
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A,
∴∠HF′C=∠GF′A,
∵∠HF′C=∠GF′A,CF′=AF′,
∴△HF′C≌△GF′A,
∴HF′=GF′,CH=AG,
∴四边形OHF′G为正方形,
∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2,
∴OH=1,
∴m=﹣1.
∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣ )2+ ,
∴y的最大值为 .
∵直线l与抛物线有两个交点,∴m< .
∴m可取值为:﹣4、﹣2、﹣1或3.
综上所述,直线l上存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形,m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3.
点评: 本题难度适中,考查的主要是二次函数、圆、等腰直角三角形及全等三角形性质,但是最后一问情形较多不易找全,非常锻炼学生的全面思考.
 
28.(10分)(2014•常州)在平面直角坐标系xOy中,点M( , ),以点M为圆心,OM长为半径作⊙M.使⊙M与直线OM的另一交点为点B,与x轴,y轴的另一交点分别为点D,A(如图),连接AM.点P是 上的动点.
(1)写出∠AMB的度数;
(2)点Q在射线OP上,且OP•OQ=20,过点Q作QC垂直于直线OM,垂足为C,直线QC交x轴于点E.
①当动点P与点B重合时,求点E的坐标;
②连接QD,设点Q的纵坐标为t,△QOD的面积为S.求S与t的函数关系式及S的取值范围.

考点: 圆的综合题.
分析: (1)首先过点M作MH⊥OD于点H,由点M( , ),可得∠MOH=45°,OH=MH= ,继而求得∠AOM=45°,又由OM=AM,可得△AOM是等腰直角三角形,继而可求得∠AMB的度数;
(2)①由OH=MH= ,MH⊥OD,即可求得OD与OM的值,继而可得OB的长,又由动点P与点B重合时,OP•OQ=20,可求得OQ的长,继而求得答案;
②由OD=2 ,Q的纵坐标为t,即可得S= ,然后分别从当动点P与B点重合时,过点Q作QF⊥x轴,垂足为F点,与当动点P与A点重合时,Q点在y轴上,去分析求解即可求得答案.
解答: 解:(1)过点M作MH⊥OD于点H,
∵点M( , ),
∴OH=MH= ,
∴∠MOD=45°,
∵∠AOD=90°,
∴∠AOM=45°,
∵OA=OM,
∴∠OAM=∠AOM=45°,
∴∠AMO=90°,
∴∠AMB=90°;
(2)①∵OH=MH= ,MH⊥OD,
∴OM= =2,OD=2OH=2 ,
∴OB=4,
∵动点P与点B重合时,OP•OQ=20,
∴OQ=5,
∵∠OQE=90°,∠POE=45°,
∴OE=5 ,
∴E点坐标为(5 ,0)
②∵OD=2 ,Q的纵坐标为t,
∴S= .
如图2,当动点P与B点重合时,过点Q作QF⊥x轴,垂足为F点,
∵OP=4,OP•OQ=20,
∴OQ=5,
∵∠OFC=90°,∠QOD=45°,
∴t=QF= ,
此时S= ;
如图3,当动点P与A点重合时,Q点在y轴上,
∴OP=2 ,
∵OP•OQ=20,
∴t=OQ=5 ,
此时S= ;
∴S的取值范围为5≤S≤10.
 


点评: 此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

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