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2014江苏无锡中考数学试题及答案与解析word版


作者:苏州进步网 来源:苏州进步网(www.szjjedu.com) 发布时间:2015-01-31 阅读次数:





2014江苏无锡中考数学试题答案解析word版
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑)
1.(3分)(2014•无锡)﹣3的相反数是(  )
  A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 

考点: 相反数.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 根据相反数的概念解答即可.
解答: 解:﹣3的相反数是﹣(﹣3)=3.
故选A.来源进步网www.szjjedu.com

点评: 本题考查了相反数的意义,一个数的进步网相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.
 
2.(3分)(2014•无锡)函数y= 中自变量x的取值范围是(  )
  A. x>2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠2

考点: 二次根式有意义的条件.
分析: 二次根式的被开方数大于等于零.
解答: 解:依题意,得
2﹣x≥0,
解得 x≤2.来源进步网www.szjjedu.com
故选:C.
点评: 考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
 
3.(3分)(2014•无锡)分式 可变形为(  )
  A.   B. ﹣  C.   D. ﹣

考点: 分式的基本性质.
分析: 根据分式的性质,分子分母都乘以﹣1,分式的值不变,可得答案.
解答: 解:分式 的分子分母都乘以﹣1,
得﹣ ,
故选;D.
点评: 本题考查了分式的性质,分式的分进步网子分母都乘以或除以同一个不为0的整式,分式的值不变.来源进步网www.szjjedu.com

 
4.(3分)(2014•无锡)已知A样本的数据如下:72,73,76,76,77,78,78,78,B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2,则A,B两个样本的下列统计量对应相同的是(  )
  A. 平均数 B. 标准差 C. 中位数 D. 众数

考点: 统计量的选择.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 根据样本A,B中数据之间的关系,结合众数,平均数,中位数和标准差的定义即可得到结论.
解答: 解:设样本A中的数据为xi,则样本B中的数据为yi=xi+2,
则样本数据B中的众数和平均进步网数以及中位数和A中的众数,平均数,中位数相差2,
只有标准差没有发生变化,来源进步网www.szjjedu.com
故选:B
点评: 本题考查众数、平均数、中位数、标准差的定义,属于基础题.
 
5.(3分)(2014•无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为(  )
  A. 1.2×0.8x+2×0.9(60+x)=87 B. 1.2×0.8x+2×0.9(60﹣x)=87
  C. 2×0.9x+1.2×0.8(60+x)=87 D. 2×0.9x+1.2×0.8(60﹣x)=87

考点: 由实际问题抽象出一元一次方程.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 设铅笔卖出x支,根据“铅笔按原价进步网打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元”,得出等量关系:x支铅笔的售价+(60﹣x)支圆珠笔的售价=87,据此列出方程即可.
解答: 解:设铅笔卖出x支,由题意,得
1.2×0.8x+2×0.9(60﹣x)=87.来源进步网www.szjjedu.com
故选B.
点评: 考查了由实际问题抽象出一元一次方程,根据根据描述语找到等量关系是解题的关键.
 
6.(3分)(2014•无锡)已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为5cm,则这个圆锥的侧面积是(  )
  A. 20πcm2 B. 20cm2 C. 40πcm2 D. 40cm2

考点: 圆锥的计算.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.
解答: 解:圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π.
故选A.
点评: 本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧进步网面扇形的弧长.
 
7.(3分)(2014•无锡)如图,AB∥CD,则根据图中标注的角,下列关系中成立的是(  )

  A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠3=180° C. ∠2+∠4<180° D. ∠3+∠5=180°
来源进步网www.szjjedu.com
考点: 平行线的性质.
分析: 根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解.
解答: 解:A、∵OC与OD不平行,
∴∠1=∠3不成立,故本选项错误;
B、∵OC与OD不平行,
∴∠2+∠3=180°不成立,故本选项错误;
C、∵AB∥CD,
∴∠2+∠4=180°,故本选项错误;
D、∵AB∥CD,
∴∠3+∠5=180°,故本选项正确.
故选D.
点评: 本题考查了平行线的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
 
8.(3分)(2014•无锡)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面3个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC,其中正确结论的个数是(  )来源进步网www.szjjedu.com

  A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

考点: 切线的性质.
分析: 连接OD,CD是⊙O的切线,可得CD⊥OD,由∠A=30°,可以得出∠ABD=60°,△ODB是等边三角形,∠C=∠BDC=30°,再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半,继而得到进步网结论①②③成立.
解答: 解:如图,连接OD,
∵CD是⊙O的切线,
∴CD⊥OD,来源进步网www.szjjedu.com
∴∠ODC=90°,
又∵∠A=30°,
∴∠ABD=60°,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠DOB=∠ABD=60°,AB=2OB=2OD=2BD.
∴∠C=∠BDC=30°,
∴BD=BC,②成立;
∴AB=2BC,③成立;
∴∠A=∠C,
∴DA=DC,①成立;
综上所述,①②③均成立,
故答案选:A.


点评: 本题考查了圆的有关性质的综合应用,在本题中借用切线的性质,求得相应角的度数是解题的关键.
 
9.(3分)(2014•无锡)在直角坐标系中,一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A(0,3),将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B(﹣ ,0),则直线a的函数关系式为(  )
  A. y=﹣ x B. y=﹣ x C. y=﹣ x+6 D. y=﹣ x+6

考点: 一次函数图象与几何变换.
分析: 先用待定系数法求出直线AB的解析式为y= x+3,再由题意,知直线b经过A(0,3),( ,0),求出直线b的解析式为y=﹣ x+3,然后将直线b向上平移3个单位后得直线a,根进步网据上加下减的平移规律即可求出直线a的解析式.
解答: 解:设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(0,3),B(﹣ ,0),
∴ ,解得 ,
∴直线AB的解析式为y= x+3.
由题意,知直线y= x+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b,则直线b经过A(0,3),( ,0),
易求直线b的解析式为y=﹣ x+3,
将直线b向上平移3个单位后得直线a,所以直线a的解析式为y=﹣ x+3+3,即y=﹣ x+6.
故选C.
点评: 本题考查了一次函数图象与几何变换,解决本题的关键是得到把直线y= x+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b的解析式.来源进步网www.szjjedu.com

 
10.(3分)(2014•无锡)已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画(  )
  A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条

考点: 作图—应用与设计作图;等腰三角形的判定
分析: 利用等腰三角形的性质分别利用AB,AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可.
解答: 解:如图所示:当BC1=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7时,都能得到符合题意的等腰三角形.
故选:B.


点评: 此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识,正确利用图形分类讨论得出是解题关键.
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分。不需要写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卡相应的位置)
11.(2分)(2014•无锡)分解因式:x3﹣4x= x(x+2)(x﹣2) .

考点: 提公因式进步网法与公式法的综合运用.
分析: 应先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
解答: 解:x3﹣4x,来源进步网www.szjjedu.com
=x(x2﹣4),
=x(x+2)(x﹣2).
点评: 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解,分解因式一定要彻底,直到不能再分解为止.来源进步网www.szjjedu.com

 
12.(2分)(2014•无锡)据国网江苏电力公司分析,我省预计今夏统调最高用电负荷将达到86000000千瓦,这个数据用科学记数法可表示为 8.6×107 千瓦.

考点: 科学记数法—表示较大的数.
分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.来源进步网www.szjjedu.com

解答: 解:将86000000用科学记数法表示为:8.6×107.
故答案为:8.6×107.
点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
 
13.(2分)(2014•无锡)方程 的解是 x=2 .

考点: 解分式方程.
专题: 计算题.来源进步网www.szjjedu.com

分析: 观察可得进步网最简公分母是x(x+2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
解答: 解:方程的两边同乘x(x+2),得
2x=x+2,
解得x=2.
检验:把x=2代入x(x+2)=8≠0.
∴原方程的解为:x=2.
故答案为x=2.来源进步网www.szjjedu.com

点评: 本题考查了分式方程的解法,注:
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
 
14.(2分)(2014•无锡)已知双曲线y= 经过点(﹣2,1),则k的值等于 ﹣1 .

考点: 反比例函数图象上点的坐标特征.
分析: 直接把点(﹣2,1)代入双曲线y= ,求出k的值即可.
解答: 解:∵双曲线y= 经过点(﹣2,1),
∴1= ,
解得k=﹣1.
故答案为:﹣1.
点评: 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.
 
15.(2分)(2014•无锡)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于 8 .


考点: 勾股定理;直进步网角三角形斜边上的中线
分析: 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10;然后在直角△ACD中,利用勾股定理来求线段CD的长度即可.
解答: 解:如图,∵△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,DE=5,
∴DE= AC=5,
∴AC=10.
在直角△ACD中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,则根据勾股定理,得
CD= = =8.
故答案是:8.
点评: 本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点.
 
16.(2分)(2014•无锡)如图,▱ABCD中,AE⊥BD于E,∠EAC=30°,AE=3,则AC的长等于 4  .


考点: 平行四边形的性质;解直角三角形
分析: 设对角线AC和BD相交于点O,在直角△AOE中,利用三角函数求得OA的长,然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得.来源进步网www.szjjedu.com

解答: 解:∵在直角△AOE中,cos∠EAC= ,
∴OA= = =2 ,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA=4 .
故答案是:4 .


点评: 本题考查了三进步网角函数的应用,以及平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分,正确求得OA的长是关键.
 
17.(2分)(2014•无锡)如图,已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC为对角线作▱ABCD.若AB= ,则▱ABCD面积的最大值为 2  .


考点: 平行四边形的性质;勾股定理;切线的性质.
分析: 由已知条件可知AC=2,AB= ,应该是当AB、AC是直角边时三角形的面积最大,根据AB⊥AC即可求得.来源进步网www.szjjedu.com

解答: 解:由已知条件可知,当AB⊥AC时▱ABCD的面积最大,
∵AB= ,AC=2,
∴S△ABC= = ,
∴S▱ABCD=2S△ABC=2 ,来源进步网www.szjjedu.com
∴▱ABCD面积的最大值为 2 .
故答案为2 .
点评: 本题考查了平行四边形面积最值的问题的解决方法,找出什么情况下三角形的面积最大是解决本题的关键.
 
18.(2分)(2014•无锡)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是 3 .


考点: 轴对称-最短路线问题;菱形的性质;相切两圆的性质.
分析: 利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值,进而求出即可.
解答: 解:由题进步网意可得出:当P与D重合时,E点在AD上,F在BD上,此时PE+PF最小,
连接BD,来源进步网www.szjjedu.com
∵菱形ABCD中,∠A=60°,
∴AB=AD,则△ABD是等边三角形,
∴BD=AB=AD=3,
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1,
∴PE=1,DF=2,
∴PE+PF的最小值是3.
故答案为:3.


点评: 此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识,根据题意得出P点位置是解题关键.
 
三、解答题(本大题共10小题,共84分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(8分)(2014•无锡)(1) ﹣|﹣2|+(﹣2)0;
(2)(x+1)(x﹣1)﹣(x﹣2)2.来源进步网www.szjjedu.com

考点: 实数的运算;整式的混合运算;零指数幂
专题: 计算题.
分析: (1)原式第一项利用平方根定义化简,第二项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果;来源进步网www.szjjedu.com
(2)原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用完全平方公式展开,去括号合并即可得到结果.
解答: 解:(1)原式=3﹣2+1=2;来源进步网www.szjjedu.com
(2)原式=x2﹣1﹣x2+4x﹣4=4x﹣5.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
20.(8分)(2014•无锡)(1)解方程:x2﹣5x﹣6=0;
(2)解不等式组: .

考点: 解一元二次方程-因式分解法;解一元一次不等式组.
专题: 计算题.
分析: (1)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程进步网来求解;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
解答: 解:(1)方程变形得:(x﹣6)(x+1)=0,
解得:x1=6,x2=﹣1;

(2) ,
由①得:x≥3;
由②得:x>5,
则不等式组的解集为x>5.来源进步网www.szjjedu.com

点评: 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,以及一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
21.(6分)(2014•无锡)如图,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC边上的点,且BD=CE.求证:MD=ME.


考点: 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质
专题: 证明题.
分析: 根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM,可证△BDM≌△CEM,可得MD=ME,即可解题.
解答: 证明:△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠DBM=∠ECM,来源进步网www.szjjedu.com
∵M是BC的中点,
∴BM=CM,
在△BDM和△CEM中,

∴△BDM≌△CEM(SAS),
∴MD=ME.
点评: 本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质.
 
22.(8分)(2014•无锡)如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;来源进步网www.szjjedu.com
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.


考点: 圆周进步网角定理;平行线的性质;三角形中位线定理
分析: (1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°,则∠CAB的度数即可求得,在等腰△AOD中,根据等边对等角求得∠DAO的度数,则∠CAD即可求得;
(2)易证OE是△ABC的中位线,利用中位线定理求得OE的长,则DE即可求得.
解答: 解:(1)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,来源进步网www.szjjedu.com
又∵OD∥BC,
∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;

(2)在直角△ABC中,BC= = = .
∵OE⊥AC,
∴AE=EC,
又∵OA=OB,
∴OE= BC= .
又∵OD= AB=2,
∴DE=OD﹣OE=2﹣ .
点评: 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理,正确证明OE是△ABC的中位线是关键.
 
23.(6分)(2014•无锡)为了解“数学思想作文对学习数学帮助有多大?”一研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查,并将调查得到的数据用下面的扇形图和表来表示(图、表都没制作完成).
选项 帮助很大 帮助较大 帮助不大 几乎没有帮助
人数 a 543 269 b
根据图、表提供的信息.来源进步网www.szjjedu.com
(1)请问:这次共有多少名学生参与了问卷调查?
(2)算进步网出表中a、b的值.
(注:计算中涉及到的“人数”均精确到1)


考点: 扇形统计图;统计表.
分析: (1)用“帮助较大”的人数除以所占的百分比计算即可得解;
(2)用参与问卷调查的学生人数乘以“帮助很大”所占的百分比计算即可求出a,然后根据总人数列式计算即可求出b.
解答: 解:(1)参与问卷调查的学生人数=543÷43.65%≈1244;

(2)a=1244×25.40%=316,来源进步网www.szjjedu.com
b=1244﹣316﹣543﹣269=1244﹣1128=116.
点评: 本题进步网考查的是扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
 
24.(10分)(2014•无锡)三个小球分别标有﹣2,0,1三个数,这三个球除了标的数不同外,其余均相同,将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.来源进步网www.szjjedu.com
(1)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,再记下小球上所标之数,求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程,并求出结果)
(2)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,将小球上所标之数再记下,…,这样一共摸了13次.若记下的13个数之和等于﹣4,平方和等于14.求:这13次摸球中,摸到球上所标之数是0的次数.

考点: 列表法与树状图法.
专题: 图表型.来源进步网www.szjjedu.com

分析: (1)根据题意画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解;
(2)设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z,根据摸出的次数、13个是的和、平方和列出三元一次方程组,然后求解即进步网可.
解答: 解:(1)根据题意画出树状图如下:

所有等可能的情况数有9种,其中两次记下之数的和大于0的情况有3种,
则P= = ;来源进步网www.szjjedu.com

(2)设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z,
由题意得, ,
③﹣②得,6x=18,
解得x=3,来源进步网www.szjjedu.com
把x=3代入②得,﹣2×3+z=﹣4,
解得z=2,
把x=3,z=2代入①得,y=8,
所以,方程组的解是 ,
故摸到球上所标之数是0的次数为8.
点评: 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比,难点在于(2)列出三元一次方程组.
 
25.(8分)(2014•无锡)(1)如图1,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D,再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证: = .(这个比值 叫做AE与AB的黄金比.)
(2)如果一等腰三角形的底边与腰进步网的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形ABC.
(注:直尺没有刻度!作图不要求写作法,但要求保留作图痕迹,并对作图中涉及到的点用字母进行标注)


考点: 作图—应用与设计作图;黄金分割.
分析: (1)利用位置数表示出AB,AC,BC的长,进而得出AE的长,进而得出答案;
(2)根据底与腰之比均为黄进步网金比的等腰三角形,画图即可.
解答: (1)证明:∵Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,
∴设AB=2x,BC=x,则AC= x,
∴AD=AE=( ﹣1)x,
∴ = = .

(2)解:底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,如图:


点评: 此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质,根据已知得出底边作法是解题关键.来源进步网www.szjjedu.com

 
26.(10分)(2014•无锡)如图,二次函数y=ax2+bx(a<0)的图象过坐标原点O,与x轴的负半轴交于点A,过A点的直线与y轴交于B,与二次函数的图象交于另一点C,且C点的横坐标为﹣1,AC:BC=3:1.
(1)求点A的坐标;来源进步网www.szjjedu.com
(2)设二次函数图象的顶点为F,其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E,若△FCD与△AED相似,求此二次函进步网数的关系式.来源进步网www.szjjedu.com


考点: 二次函数综合题.
分析: (1)过点C作CM∥OA交y轴于M,则△BCM∽△BAO,根据相似三角形对应边成比例得出 = = ,即OA=4CM=4,由此得出点A的坐标为(﹣4,0);
(2)先将A(﹣4,0)代入y=ax2+bx,化简得出b=4a,即y=ax2+4ax,则顶点F(﹣2,﹣4a),设直线AB的解析式为y=kx+n,将A(﹣4,0)代入,化简得n=4k,即直线AB的解析式为y=kx+4k,则B点(0,4k),D(﹣2,2k),C(﹣1,3k).由C(﹣1,3k)在抛物线y=ax2+4ax上,得出3k=a﹣4a,化简得到k=﹣a.再由△FCD与直角△AED相似,则△FCD是直角三角形,又∠FDC=∠ADE<90°,∠CFD<90°,得出∠FCD=90°,△FCD∽△AED.再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2,得出△FCD是等腰直角三角形,则△AED也进步网是等腰直角三角形,所以∠DAE=45°,由三角形内角和定理求出∠OBA=45°,那么OB=OA=4,即4k=4,求出k=1,a=﹣1,进而得到此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x.来源进步网www.szjjedu.com

解答: 解:(1)如图,过点C作CM∥OA交y轴于M.
∵AC:BC=3:1,
∴ = .
∵CM∥OA,
∴△BCM∽△BAO,
∴ = = = ,
∴OA=4CM=4,
∴点A的坐标为(﹣4,0);

(2)∵二次函数y=ax2+bx(a<0)的图象过A点(﹣4,0),
∴16a﹣4b=0,
∴b=4a,来源进步网www.szjjedu.com
∴y=ax2+4ax,对称轴为直线x=﹣2,
∴F点坐标为(﹣2,﹣4a).
设直线AB的解析式为y=kx+n,将A(﹣4,0)代入,
得﹣4k+n=0,
∴n=4k,
∴直线AB的进步网解析式为y=kx+4k,
∴B点坐标为(0,4k),D点坐标为(﹣2,2k),C点坐标为(﹣1,3k).
∵C(﹣1,3k)在抛物线y=ax2+4ax上,
∴3k=a﹣4a,
∴k=﹣a.来源进步网www.szjjedu.com
∵△AED中,∠AED=90°,
∴若△FCD与△AED相似,则△FCD是直角三角形,
∵∠FDC=∠ADE<90°,∠CFD<90°,
∴∠FCD=90°,
∴△FCD∽△AED.
∵F(﹣2,﹣4a),C(﹣1,3k),D(﹣2,2k),k=﹣a,
∴FC2=(﹣1+2)2+(3k+4a)2=1+a2,CD2=(﹣2+1)2+(2k﹣3k)2=1+a2,
∴FC=CD,
∴△FCD是等腰直角三角形,
∴△AED是等腰直角三角形,
∴∠DAE=45°,
∴∠OBA=45°,来源进步网www.szjjedu.com
∴OB=OA=4,
∴4k=4,
∴k=1,
∴a=﹣1,
∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x.


点评: 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质,运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,两点之间的距离公式、抛物线对称轴的求法,函数图象上点的坐标特征.综合性较强,有一定难度.(2)中得出△FCD是等腰直角三角形是解题的关键.
 
27.(10分)(2014•无锡)某发电厂共有6台发电机发电,每台的发电量为300万千瓦/月.该厂计划从今年7月开始到年底,对6台发电机各进行一次改造升级.每月改造升级1台,这台发电机当月停机,并于进步网次月再投入发电,每台发电机改造升级后,每月的发电量将比原来提高20%.已知每台发电机改造升级的费用为20万元.将今年7月份作为第1个月开始往后算,该厂第x(x是正整数)个月的发电量设为y(万千瓦).来源进步网www.szjjedu.com
(1)求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量;
(2)求y关于x的函数关系式;
(3)如果每发1千瓦电可以盈利0.04元,那么从第1个月开始,至少要到第几个月,这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1(万元),将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2(万元)?来源进步网www.szjjedu.com

考点: 一次函数的应用.
分析: (1)由题意可以知道第1个月的发电量是300×5千瓦,第2个月的发电量为300×4+300(1+20%),第3个月的发电量为300×3+300×2×(1+20%),第4个月的发电量为300×2+300×3×(1+20%),第5个月的发电量为300×1+300×4×(1+20%),第6个月的发电量为300×5×(1+20%),将6个月的总电量加起来就可以求出总电量.
(2)由总发电量=各台机器的发电量之和根据(1)的结论设y与x之间的关系式为y=kx+b建立方程组求出其解即可;
(3)由总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用,分别表示出ω1,ω2,再根据条件建立不等式求出其解即可.来源进步网www.szjjedu.com

解答: 解:(1)由题意,得
第2个月的发电量为:300×4+300(1+20%)=1560千瓦,
今年下半年的总发电量为:300×5+1560+300×3+300×2×(1+20%)+300×2+300×3×(1+20%)+300×1+300×4×(1+20%)+300×5×(1+20%),
=1500+1560+1620+1680+1740+1800,
=9900.
答:该厂第2个月的发电量为1560千瓦;今年下半年的总发电量为9900千瓦;

(2)设y与x之间的关系式为y=kx+b,由题意,得

解得: ,
∴y=60x+1440(1≤x≤6).
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(3)设到第n个月时ω1>ω2,
当n=6时,ω1=9900×0.04﹣20×6=276,ω2=300×6×6×0.04=432,ω1>ω2不符合.
∴n>6.来源进步网www.szjjedu.com
∴ω1=[9900+360×6(n﹣6)]×0.04﹣20×6=86.4n﹣240,
ω2=300×6n×0.04=72n.
86.4a﹣122.4>72a,
当ω1>ω2时,86.4n﹣240>72n,解之得n>16.7,∴n=17.
答:至进步网少要到第17个月ω1超过ω2.来源进步网www.szjjedu.com

点评: 本题考查了一次函数的运用,列一元一次不等式解实际问题的运用,总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用,解答时求出一次函数解析式是解答本题的关键.
 
28.(10分)(2014•无锡)如图1,已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于直线OC的对称点M、N.设P运动的时间为t(0<t<2)秒.
(1)求C点的坐标,并直接写出点M、N的坐标(用含t的代数式表示);
(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.
①试求S关于t的函数关系式;来源进步网www.szjjedu.com
②在图2的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回答:S是否有最大值?若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由.


考点: 相似形综合题
分析: (1)如答图1,作辅助线,由比例式求出点D的坐标;
(2)①所求函数关系式为分段函数,需要分类讨论.来源进步网www.szjjedu.com
答图2﹣1,答图2﹣2表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化,分别求解;
②画出函数图象,由两段抛物线构成.观察图象,可知当t=1时,S有最大值.
解答: 解:(1)如答图1,过点C作CF⊥x轴于点F,CE⊥y轴于点E,
由题意,易进步网知四边形OECF为正方形,设正方形边长为x.

∵CE∥x轴,
∴ ,即 ,解得x= .
∴C点坐标为( , );来源进步网www.szjjedu.com
∵PQ∥AB,
∴ ,即 ,
∴OP=2OQ.
∵P(0,2t),
∴Q(t,0).
∵对称轴OC为第一象限的角平分线,
∴对称点坐标为:M(2t,0),N(0,t).

(2)①当0<t≤1时,如答图2﹣1所示,点M在线段OA上,重叠部分面积为S△CMN.

S△CMN=S四边形CMON﹣S△OMN
=(S△COM+S△CON)﹣S△OMN
=( •2t× + •t× )﹣ •2t•t
=﹣t2+2t;
当1<t<2时,如答图2﹣2所示,点M在OA的延长线上,设MN与AB交于点D,则重叠部分面积为S△CDN.
设直线MN的解析式为y=kx+b,将M(2t,0)、N(0,t)代入得 ,
解得 ,
∴y=﹣ x+t;
同理求得进步网直线AB的解析式为:y=﹣2x+4.
联立y=﹣ x+t与y=﹣2x+4,求得点D的横坐标为 .
S△CDN=S△BDN﹣S△BCN
= (4﹣t)• ﹣ (4﹣t)×
= t2﹣2t+ .
综上所述,S= .
②画出函数图象,如答图2﹣3所示:

观察图象,可知当t=1时,S有最大值,最大值为1.
点评: 本题进步网是运动型综合题,涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点.难点在于第(2)问,正确地进行分类讨论,是解决本题的关键.

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