北京市西城区2013-2014学年九年级上数学期末试卷

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北京市西城区2013-2014学年九年级上数学期末试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．抛物线 的顶点坐标是来源苏州进步网www.szjjedu.com
   A．  B．  C．  D．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若 ，则∠ACB的度数是
   A．40° B．50°      C．60° D．80°
3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是
   A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
           A                B               C                  D
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sinA的值为
   A．  B．  C．  D．2来源苏州进步网www.szjjedu.com
6．如图，抛物线  的对称轴为直线 ．下列结论中，正确的是
   A．a＜0   
   B．当 时，y随x的增大而增大
   C．
   D．当 时，y的最小值是
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是
   A．  B．
   C．  D． 来源苏州进步网www.szjjedu.com
8．若抛物线 （m是常数）与直线 有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则 的取值范围是
   A．  B．  C．  D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若 ， ， ，则BC的长是   ．
10．把抛物线 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线    ．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转 角后得到△A′B′C，当点A的对应点A' 落在AB边上时，旋转角 的度数是   度，阴影部分的面积为   ．
12．在平面直角坐标系xOy中，过点 作AB⊥x轴于点B．半径为 的⊙A
与AB交于点C，过B点作⊙A的切线BD，切点为D，连接DC并延长交x轴于点E. 来源苏州进步网www.szjjedu.com
   （1）当 时，EB的长等于      ；
   （2）点E的坐标为      （用含r的代数式表示）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
14．已知：二次函数 的图象经过点 ．
   （1）求二次函数的解析式；来源苏州进步网www.szjjedu.com
   （2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；
   （3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成 的形式．
15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，点P在AD边上，且 ．若AB＝6，DC＝4，PD＝2，求PB的长．
16．列方程或方程组解应用题：
“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．来源苏州进步网www.szjjedu.com
17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD＝30米，求河宽AB（结果精确到1米， 取1.73， 取1.41）．
18．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，AB＝12， ．
   （1）求OC的长；来源苏州进步网www.szjjedu.com
   （2）点E，F在⊙O上，EF∥AB．若EF＝16，直接写出EF
        与AB之间的距离．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．设二次函数 的图象为C1．二次函数 的图象与C1关于y轴对称．
   （1）求二次函数 的解析式；
   （2）当 ≤0时，直接写出 的取值范围；来源苏州进步网www.szjjedu.com
   （3）设二次函数 图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数 ( k，m为常数，k≠0)的图象经过A，B两点，当 时，直接写出x的取值范围．
20．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE∽△ABF；
（2）连接EF，M为EF的中点，AB＝4，AD＝2，设DE＝x，
     ①求点M到FC的距离（用含x的代数式表示）；来源苏州进步网www.szjjedu.com
     ②连接BM，设 ，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM的长度的最小值．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
  （1）求证：DE是⊙O的切线；
  （2）若 ，求 的值．
22．阅读下面材料：
定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形．
问题：⊙O的半径为1，画一个⊙O的关联图形．
在解决这个问题时，小明以O为原点建立平面直角坐标系xOy进行探究，他发现能画出很多⊙O的关联图形，例如：⊙O本身和图1中的△ABC（它们都是封闭的图形），以及图2中以O为圆心的     （它是非封闭的图形），它们都是⊙O的关联图形．而图2中以P，Q为端点的一条曲线就不是⊙O的关联图形．
参考小明的发现，解决问题：
（1）在下列几何图形中，⊙O的关联图形是        （填序号）；
① ⊙O的外切正多边形
② ⊙O的内接正多边形来源苏州进步网www.szjjedu.com
③ ⊙O的一个半径大于1的同心圆
（2）若图形G是⊙O的关联图形，并且它是封闭的，则图形G的周长的最小值是____；
（3）在图2中，当⊙O的关联图形      的弧长最小时，经过D，E两点的直线为y =__；
（4）请你在备用图中画出一个⊙O的关联图形，所画图形的长度l小于（2）中图形G的周长的最小值，并写出l的值（直接画出图形，不写作法）．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知：二次函数 （m为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
   ①求m的值；
   ②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2） 当0≤ ≤2时，求函数 的最小值（用含m的代数式表示）．
24．已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE.
（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；
（2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转 （ ≤ ≤ ）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；来源苏州进步网www.szjjedu.com
（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转 （ ≤ ≤ ）角，作DH⊥BC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
25．已知：二次函数  的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）①填空：二次函数图象的对称轴为    ；来源苏州进步网www.szjjedu.com
     ②求二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为（－2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且 ，求点P的横坐标；
参考答案及评分标准
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B Ａ D  C A
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号 9 10 11 12
答案 

60，
阅卷说明：第11题、第12题每空2分．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）来源苏州进步网www.szjjedu.com
13．解： ．
4分
．5分
14．解：（1）∵ 二次函数 的图象经过点A(2，5)，
∴  ．1分
∴  ．
∴ 二次函数的解析式为 ．2分
（2） 令 ，则有 ．
解得 ， ．
∴ 二次函数的图象与x轴的交点坐标为 和 ．4分
（3）

．5分
15．解：∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，
∴ ∠D=90°．来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴  ．
∵ ，
∴∠BPC=90°， ．
∴∠DCP=∠APB．2分
∴ ．
在Rt△PCD中， CD=2，PD=4，
∴ ．
在Rt△PBA中，AB=6，
∴ ．
∴ ．
∴ ． 4分
∴ ． 5分
16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x． 1分
    依题意，得 ．2分
    整理，得 ． 3分
．
    解得x1=0.2=20%，x2=－2.2（舍去）．4分
答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． 5分
17．解：设河宽AB为x米． 1分
∵ AB⊥BC，
∴ ∠ABC=90°．
      ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴ AB=BC=x． 2分来源苏州进步网www.szjjedu.com
      ∵ 在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴ BD= ． 3分
∴  ．
∴  ． 4分
    解得 41．
答：河宽AB约为41米． 5分
18．解：（1）∵ AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=12，
∴  ． 1分
∵ 在Rt△AOC中，∠ACO=90°， ，
∴  ． 2分
∴  ． 3分
（2）2或14． 5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）二次函数 图象的顶点 关于y轴的对称点坐标为 ，1分
∴ 所求的二次函数的解析式为 ， 2分
即 ．
（2） ≤ ≤3． 4分
（3） ． 5分
20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°．
∴  ．
∵ AF⊥AE，
∴ ∠EAF = ．
∴  ．来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴ ∠DAE =∠BAF．
∴ △ADE∽△ABF． 2分
（2）解：①如图，取FC的中点H，连接MH．
∵ M为EF的中点，
∴ MH∥DC ， ．
∵ 在矩形ABCD中，∠C =90°，
∴ MH⊥FC，即MH是点M到FC的距离．
∵ DE=x，DC=AB=4．
∴ EC= ，
∴   ．
即点M到FC的距离为MH ． 3分
②∵△ADE∽△ABF，来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴  ．
∴  ．
∴  ，FC= ，FH= CH= ．
∴  ．
∵  ，
∴ 在Rt△MHB中，
．
∴  （ ），4分
当 时，BM长的最小值是 ． 5分
21．（1）证明：如图，连接OC．来源苏州进步网www.szjjedu.com
∵ AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴ AD⊥AB，
∴ ∠DAB =90°．
∵ OD∥BC，
∴ ∠DOC =∠OCB，∠AOD =∠ABC．
∵ OC=OB，
∴ ∠OCB =∠ABC．
∴ ∠DOC =∠AOD．
  在△COD和△AOD中，
   OC = OA，
   ∠DOC=∠AOD，
   OD=OD，
∴ △COD≌△AOD． 1分
∴ ∠OCD=∠DAB = 90°．
∴ OC⊥DE于点C．来源苏州进步网www.szjjedu.com
∵ OC是⊙O的半径，
∴ DE是⊙O的切线． 2分
（2）解：由 ，可设 ，则 ． 3分
∴  ．
∴ 在Rt△DAE中， ．
∴   ．
∵ 在Rt△OCE中， .
∴  ，
∴  ．
∴ 在Rt△AOD中， ． 4分
∴  ．5分
22．解：（1）①③； 2分
（2） ； 3分
（3） ； 4分
（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l满足 ≤ l ＜ ．
例如：在图1中l ，
在图2中l ． 5分来源苏州进步网www.szjjedu.com
阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正确且图形长度都正确得1分，否则得0分．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）①∵ 二次函数 的图象与x轴只有一个公共点A，
∴   ． 1分
整理，得 ．
解得， ， ．
又点A在x轴的正半轴上，来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴  ．
∴ m=4． 2分
②由①得点A的坐标为 ．
∵ 四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，
∴ 点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． 3分
设平移后的图象对应的函数解析式为 (b，c为常数)．
∴  
解得 来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴平移后的图象对应的函数解析式为 ． 4分
（２）函数 的图象是顶点为 ，且开口向上的抛物线．分三种情况：
(ⅰ)当 ，即 时，函数在0≤ ≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为 ；
(ⅱ)当0≤ ≤2，即0≤ ≤4时，函数的最小值为 ；
(ⅲ)当 ，即 时，函数在0≤ ≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为 ．
综上，当 时，函数 的最小值为 ；
      当 时，函数 的最小值为 ；
      当 时，函数 的最小值为 ． 7分
24．（1） ， ． 2分
    （2）证明：连接DM，AM．
在等边三角形ABC中，M为BC的中点，
∴  ， ， ．
∴  ．来源苏州进步网www.szjjedu.com
同理， ， ．
∴  ， ． 3分
∴ △ADM ∽△BEM．
∴  ． 4分
延长BE交AM于点G，交AD于点K．
∴  ， ．
∴  ．
∴  ． 5分
    （3）解：(ⅰ)当△DEF绕点M顺时针旋转 ( ≤ ≤ )角时，
∵ △ADM ∽△BEM，
∴  ．
∴ 
∴ 
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．
∴   （3≤ ≤ ）． 6分
(ⅱ) 当△DEF绕点M逆时针旋转 ( ≤ ≤ )角时，可证△ADM∽△BEM，
∴  ．
∴  ．
∴ 


．
∴  ( ≤ ≤3)．
综上， ( ≤ ≤ )． 7分
25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线 ； 1分
②∵ 当x=0时，y=－4，来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴ 点C的坐标为 ．
∵   ＝12，
∴ AB=6．
又∵点A，B关于直线 对称，
∴ A点和B点的坐标分别为 ， ．
∴  ．解得   ．
∴ 所求二次函数的解析式为 ． 2分
   （2）如图，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
(ⅰ)当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A ，点D ，来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴ DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中， ，得 ．
延长DF与抛物线交于点P1，则P1点为所求．
∴ 点P1的坐标为 ． 3分
(ⅱ)当点P在直线AD的上方时，延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．
可证 △GHA≌△ ．来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴ HA =AF，GH = P1 F，GA =P1A．
又∵  ， ，
∴ 点 的坐标是 ．
在△ADP1中，
，DP1＝５，
，
∴  ．
∴  ．
∴ DA⊥ ．
∴  ．
∴  ．
∴  ．
设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求．
作DK⊥GH于点K，作P2S∥GK交DK于点S．
设P2点的坐标为 ，来源苏州进步网www.szjjedu.com
则 ， ．
由 ， ， ，得 ．
整理，得  ．
解得 ．
∵ P2点在第二象限，来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴ P2点的横坐标为 （舍正）．
综上，P点的横坐标为－2或 ． 5分
（3）如图，连接O ，交CE于T．连接 C．
∵ 点O与点 关于EC所在直线对称，
∴ O ⊥CE，  CE，来源苏州进步网www.szjjedu.com∠C E  ．
∴  C⊥ E．
∵ ON⊥ E，
∴  C∥ N．
∴    C E  ．
∴  ． 6分
∴  ．来源苏州进步网www.szjjedu.com
∵ 在Rt△ETO中， ， ，
在Rt△ 中， ， ，
∴  ．
∴ 


．
同理    ．
∴  ．
∵  ，来源苏州进步网www.szjjedu.com
∴  ．
∵ 点E在x轴的正半轴上，
∴ E点的坐标为 )． 8分