北京市丰台区2013—2014学年高三上数学(文科)期末试题及答案评分

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北京市丰台区2013—2014学年高三上数学(文科)期末试题及答案评分标准
第一部分  （选择题  共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。来源进步网www.szjjedu.com
(1)函数 的定义域为
(A)         (B)        (C)        (D)
(2)在复平面内，复数 对应的点位于来源进步网www.szjjedu.com
(A)第一象限      (B)第二象限      (C)第三象限     (D)第四象限
(3)经过圆 的圆心且与直线 平行的直线方程是来源进步网www.szjjedu.com
(A)  (B)  (C)  (D)
(4)命题甲：f(x)是 R上的单调递增函数；命题乙：∃x1<x2，f(x1)<f(x2).则甲是乙的
(A)充分不必要条件                  (B)必要不充分条件
(C)充分且必要条件                  (D)既不充分也不必要条件来源进步网www.szjjedu.com
(5)已知平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则 等于
(A)           (B)2            (C)          (D)1
(6)函数 的最大值是
(A)2             (B)1             (C)          (D)
(7)设点F1，F2分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上任意一点，且 的最小值为 ,则椭圆的离心率为来源进步网www.szjjedu.com
(A)             (B)          (C)            (D)
(8)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，点E是底面的边BC上的动点，设 ，则满足
PE⊥DE的λ值有
(A) 0个       (B)1个     (C)2个          (D)3个来源进步网www.szjjedu.com
第二部分  （非选择题  共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)已知等差数列 的首项 ，前三项之和 ，则 ．
(10)已知变量x,y满足 则 的最小值是___________.来源进步网www.szjjedu.com
(11)从某项综合能力测试中抽取50人的成绩，统计如下表，则这50人成绩的平
均数为__________,方差为__________.
分数 5 4 3 2 1
人数 10 5 15 15 5

（注：s2= ， 为数据 的平均数）
(12)若一个算法程序框图如右图，则输出的结果S为来源进步网www.szj m_____.

(13)若一个底面是正三角形的三棱柱的三视图如下图所示，则其体积等于__________.来源进步网www.szjjedu.com
(14)已知函数 , ,若 ,则下列五个关系式：① ； ② ； ③ ；④ ；⑤ .
其中有可能成立的关系式有_____________.（请填写序号）
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)（本题共13分）
  在△ABC中内角A,B,C的对边分别是 ，已知
.
（Ⅰ）求sinC的值；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求b边的长.

(16) （本题共13分）
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于
A，B的一点，点V是圆O所在平面外一点.
(Ⅰ) 若点E是AC的中点,求证：OE∥平面VBC；
(Ⅱ) 若VA=VB=VC,求证：VO 平面ABC.

(17) （本题共13分）
某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号.已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元四、五、六3个楼层共5套房，其中四层有1套房，五层、六层各有2套房. 来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率.
(18) （本题共14分）
    已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 的极值点；
（Ⅱ）求函数 的单调区间. 来源进步网www.szjjedu.com
(19) （本题共14分）
已知抛物线C： ( )的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为 ,求证：直线AB过 轴上一定点.
(20) （本题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
某市实行机动车摇号购车政策，规定每年购车指标为24万个，设2014年初全市汽车保有量为500万辆，假设每年淘汰的旧车为该年初汽车保有量的4%，每年新购车辆数等于该年购车指标.
（Ⅰ）求2015年初和2016年初全市汽车保有量（万辆）；
（Ⅱ）设2014年初的汽车保有量为 ,  年后汽车保有量为 ,求证：数列 为等比数列；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅲ）要想将全市每年的汽车保有量控制在550万辆以下，是否需要调整每年的购车指标，若不需调整，说明理由，若需调整，求出每年购车指标的最大值（万个）.
答案
一、选择题
    CADA    DBBC
二、填空题:
（9） 2 -1 （10） 2  （11） 3;  1.6 （12）  （13） （14）①②⑤
注:14题给出一个正确得1分，给出两个正确得3分，给出三个正确得5分.若答案中含有③④不得分.
三、解答题: 来源进步网www.szjjedu.com
(15)解：
（Ⅰ）正弦定理 ，----------------------3分
所以 ------------6分
（Ⅱ）由余弦定理 ，---------------9分
得 ，解得，b= .---------12分
B的值为 --------------------------13分
(16)证明：
(Ⅰ)  O,E分别是AB和AC的中点，-----------1来源进步网www.szjjedu.com
OE∥BC  .----------------------------3分
又  面VBC,   面VBC.-- -------5分
面VBC. ---------------------- --6分
（Ⅱ）   VA=VB，∵ △ABC为等腰三角形，
     又  O为AB中点，∴ VO⊥AB;----- --------8分
连接OC，在△VOA和△VOC中，OA =OC, VO=VO，VA=VC,
△VOA≌△VOC;- ---------------------------------------------------10分
∴ ∠V0A=∠VOC=90o.  ∴ VO⊥OC;-------------------------------------11分
     AB∩OC=O, AB 平面ABC, OC 平面ABC, -------------------12分
∴  VO⊥平面ABC. -----------------------------------------13分

(17)解：将这5套进行编号，记四层的1套房为a，五层的两套房分别为b1,b2,六层的两套房分别为c1,c2，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),
(b2,c2),(c1,c2)共10种.-----------------------------------7分
  （注：写出5个以上情况的给4分，但不全的；按有顺序情况写出10个给4分，全部正确给8分）来源进步网www.szjjedu.com
  （Ⅰ）甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有2种，
所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为 .--------------10分
（Ⅱ）甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的可能情况有6种，所以甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率为 .----------------------------13分
(18)解：
   （Ⅰ）当 时， .------------------------1分
所以 .--------------------------------------3分
令 得， .-------------------------------4分
与 变化规律如下表：来源进步网www.szjjedu.com
x (-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+∞)
  + 0 - 0 +
  ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以函数 的极大值点为-2，极小值点为1.-------------------6分
（Ⅱ）  -------------------------------------8分
令 ,得 .---------------------------------9分
（1）当 时, ,  在的单调递增区间为 -----10分
（2）当 时， 与 变化规律如下表：来源进步网www.szjjedu.com
x (-∞,-2a) -2a (-2a,a) a (a,+∞)
  + 0 - 0 +
  ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞)，减区间是(-2a,a)------- 12分
（3）当 时， 与 变化规律如下表：
x (-∞,a) a (a,-2a) -2a (-2a,+∞)
  + 0 - 0 +
  ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞)，减区间是(a,-2a)
综上所述，当 时, ,f(x)在R上单调递增；来源进步网www.szjjedu.com
当 时，f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞)，减区间是(-2a,a)；
当 时，f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞)，减区间是(a,-2a).--14分
（无综上所述不扣分）
(19)解：
（Ⅰ）因为抛物线 的焦点坐标为 ，所以 .
得到抛物线方程为 .----------------------------------4分
（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时设A 来源进步网www.szjjedu.com
因为直线 的斜率之积为 ,所以 化简得 .
所以 ,此时直线AB的方程为 .--------------7分
②当直线AB的斜率存在时设直线的方程为
联立方程 化简得 .------------------9分
根据韦达定理得到 ,因为直线 的斜率之积为 ,
所以得到 即 .--------------------11分
得到 ,来源进步网www.szjjedu.com
化简得到 （舍）或 .--------------------12分
又因为 ,所以 .
上所述，直线AB过定点（8，0）.-------------------------14分
(20)解：
（Ⅰ）根据题意2015年汽车保有量为 -------2分
2016年汽车保有量为 -----4分
（Ⅱ）根据题意有 -------------------------------5分
因为 

     又因为  来源进步网www.szjjedu.com
     所以 是以-100为首相，公比为0.96的等比数列.------8分
（Ⅲ）由（2）可知，设每年购车指标为 万辆，则 .
变形可得： .
所以{ }是以 为首项，0.96为公比的等比数列.
所以 来源进步网www.szjjedu.com
所以 -----------------------------10分
当500-25 ≥0，即0< ≤20时， 随n增大而减小，
因为 ,所以 ，即 ，成立.
当500-25 <0，即 >20时， ， 且 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以，只需 ，即 .------------------------------12分
每年购车指标调整为22万个，汽车保有量会控制在550万辆以下.--13分