北京市海淀区2013—2014学年高三上数学(文科)期末练习及答案评分

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北京市海淀区2013—2014学年高三上数学(文科)期末练习及答案评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.复数 等于(     ) 来源进步网www.szjjedu.com
A.        B.          C.           D.
2.已知直线 与直线 平行，则实数 的取值为(     )
A.         B.         C.          D.  来源进步网www.szjjedu.com
3.为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为(     ) 来源进步网www.szjjedu.com
A．10000    B．20000      C．25000      D．30000
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的 值为(     )
A.15            B.14          C. 7            D.6来源进步网www.szjjedu.com
5.已知 ， ， ，则(     )
A．       B．     C．           D．
6.已知函数 若关于 的方程 有三个不等的实根，则实数 的取值范围是(  )
A.      B.       C.        D.  来源进步网www.szjjedu.com
7.在 中，若 ，面积记作 ，则下列结论中一定成立的是(     )
A．      B．       C．        D．
8.如图所示，正方体 的棱长为 ， ， 是线段 上的动点，过点 做平面 的垂线交平面 于点 ，则点 到点 距离的最小值为(     ) 来源进步网www.szjjedu.com
A．       B．        C．        D．
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.双曲线 的离心率为____________.来源进步网www.szjjedu.com
10.某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为____________.
11.已知点 的坐标满足 则 的最大值为________.
12.已知等差数列 和等比数列 满足 ，则满足 的 的所有取值构成的集合是_________.来源进步网www.szjjedu.com
13.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为___；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时,980小时, 1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时.
14.直线 与抛物线 : 交于 两点，点 是抛物线 准线上的一点，
记 ，其中 为抛物线 的顶点. 来源进步网www.szjjedu.com
（1）当 与 平行时， ________；
（2）给出下列命题：
① ， 不是等边三角形；来源进步网www.szjjedu.com
②  且 ，使得 与 垂直；来源进步网www.szjjedu.com
③无论点 在准线上如何运动， 总成立.
其中，所有正确命题的序号是_________.
三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
函数 .来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）求 的值；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求函数 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.

16．（本小题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示

（Ⅰ）求上图中 的值；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）；
（Ⅲ）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定（结论不需证明）.

17．（本小题共14分）
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，且侧面 平面 ，点 是棱 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）若 ，求证：平面 平面 .

18．（本小题共13分）
已知函数 ，其中 为常数. 来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）若函数 是区间 上的增函数，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 在 时恒成立，求实数 的取值范围.

19.（本小题共14分）来源进步网www.szjjedu.com
已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ，右顶点 在
圆 ： 上.
（Ⅰ）求椭圆 和圆 的方程；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）已知过点 的直线 与椭圆 交于另一点 ，与圆 交于另一点 .请判断是否存在斜率不为0的直线 ，使点 恰好为线段 的中点，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.

20.（本小题共13分）
如果函数 满足在集合 上的值域仍是集合 ，则把函数 称为N函数.
例如： 就是N函数. 来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）判断下列函数：① ，② ，③ 中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；
（Ⅱ）判断函数 是否为N函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于任意实数 ，函数 都不是N函数.
（注：“ ”表示不超过 的最大整数）来源进步网www.szjjedu.com

参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A C B D B
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．  2              10． 16              11.  7            12．  来源进步网www.szjjedu.com
13． 50，1015        14．  ;①②③
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 来源进步网www.szjjedu.com
15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ） .  ------------------------3分
（Ⅱ）由 得 .来源进步网www.szjjedu.com
因为 来源进步网www.szjjedu.com
                           ------------------------------------5分
                                   
                ，                -------------------------------------7分
         所以 的最小正周期 .            -------------------------------------9分
         因为函数 的对称轴为 ,  ------------------------------11分
又由 ,得 ,
所以 的对称轴的方程为 .-----------------------------------13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由上图可得 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以 .                              ----------------------------------4分
（Ⅱ）设事件A为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环. 来源进步网www.szjjedu.com
      所以 .         ----------------------------------9分
（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.                     ---------------------------------13分
17．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为底面 是菱形，来源进步网www.szjjedu.com
         所以  .    ----------------------------1分
         又因为 平面 ， -------------------3分
         所以 平面 . --------------------------4分
（Ⅱ）因为 ，点 是棱 的中点，
      所以 .                               ----------------------------------5分
      因为平面 平面 ,平面 平面  , 平面 ,-------------7分
      所以 平面 ,                      -----------------------------------8分来源进步网www.szjjedu.com
      因为 平面 ,
      所以 .                             ------------------------------------9分
（Ⅲ）因为 ，点 是棱 的中点，
      所以 .                               --------------------------------10分
      由（Ⅱ）可得 ，                     ---------------------------------11分
      所以 平面 ，                     --------------------------------13分
      又因为 平面 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以平面 平面 .                    --------------------------------14分
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ） , .                     -------------------------------2分
         因为函数 是区间 上的增函数，
         所以 ，即 在 上恒成立.------------------------------3分
         因为 是增函数，来源进步网www.szjjedu.com
所以满足题意只需 ，即 .      -------------------------------5分
（Ⅱ）令 ，解得                   -------------------------------6分
       的情况如下：
      
    0 
  ↘ 极小值 ↗
                                             --------------------------------------10分[
①当 ，即 时， 在 上的最小值为 ，
        若满足题意只需 ，解得 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以此时， ；                   --------------------------------------11分
      ②当 ，即 时， 在 上的最小值为 ，
        若满足题意只需 ，求解可得此不等式无解，
所以 不存在；                                ------------------------12分
      ③当 ，即 时， 在 上的最小值为 ,来源进步网www.szjjedu.com
        若满足题意只需 ，解得 ,
所以此时， 不存在.                        ------------------------------13分
         综上讨论，所求实数 的取值范围为 .
19. （本小题共14分）来源进步网www.szjjedu.com
解：（Ⅰ）由题意可得 ，                         ----------------------------------1分
         又由题意可得 ，
所以 ，                               ----------------------------------2分
         所以 ,                       -------------------------------3分来源进步网www.szjjedu.com
         所以椭圆 的方程为 .              ---------------------------------4分
         所以椭圆 的右顶点 ，                 --------------------------------5分
         代入圆 的方程，可得 ,
         所以圆 的方程为 .              ------------------------------6分
（Ⅱ）法1：
假设存在直线 :  满足条件，    -----------------------------7分
      由 得 ----------------------------8分
      设 ，则 ,               ---------------------------------9分
      可得中点 ，                --------------------------------11分
      由点 在圆 上可得 来源进步网www.szjjedu.com
         化简整理得                            --------------------------------13分
         又因为 ，
         所以不存在满足条件的直线 .                 --------------------------------14分
（Ⅱ）法2：
假设存在直线 满足题意.
由（Ⅰ）可得 是圆 的直径，                -----------------------------7分
      所以 .                                ------------------------------8分来源进步网www.szjjedu.com
      由点 是 中点，可得 .       --------------------------------9分
      设点 ，则由题意可得 .      --------------------------------10分
         又因为直线 的斜率不为0，所以 ,        -------------------------------11分
      所以 ,-------------------------------13分
         这与 矛盾，所以不存在满足条件的直线 . --------------------------14分
20. （本小题共13分）来源进步网www.szjjedu.com
解：（Ⅰ）只有 是N函数.                        ----------------------------3分
（Ⅱ）函数 是N函数.
      证明如下：
      显然， ， .     ---------------------------------------4分
不妨设 ,
由 可得 ，来源进步网www.szjjedu.com
      即 .
      因为 ，恒有 成立，
      所以一定存在 ，满足 ，来源进步网www.szjjedu.com
      所以设 ，总存在 满足 ，
所以函数 是N函数.        ---------------------------------------8分
（Ⅲ）（1）当 时，有 ，
所以函数 都不是N函数.         ---------------------------9分
     （2）当 时，① 若 ，有 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以函数 都不是N函数. ------------------10分
                        ② 若 ，由指数函数性质易得
                              ，
                           所以 ，都有
所以函数 都不是N函数.  -----------------11分
                        ③ 若 ，令 ，则 ，
所以一定存在正整数 使得  ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ，使得 ，
所以 .
又因为当 时， ,所以 ；
当 时， ,所以 ，
所以 ，都有 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以函数 都不是N函数.------------------13分
    综上所述，对于任意实数 ，函数 都不是N函数. 来源进步网www.szjjedu.com