湖南省怀化市2013—2014学年高三下3月一模考试数学(理)试题及答

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湖南省怀化市2013—2014学年高三下3月一模考试数学(理)试题及答案
第Ⅰ卷（选择题   共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.
1. 复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于来源进步网www.szjjedu.com
A．第一象限     B．第二象限      C．第三象限       D．第四象限
2. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,将支出分
区间 、 、 、 进行统计，
现抽出了一个容量为 的样本,其频率分布直方图如图所
示,其中支出在 元的同学有24人,则 的值为
A．80       B．800       
C．72         D．720
3. 在锐角 中，角 的对边分别为 . 若 ，则角 为来源进步网www.szjjedu.com
A．          B．             C．             D．
4. 若变量 满足约束条件 ，那么 的最大值是
A．          B．             C．              D． 
5. 函数 的图像与函数 的图像的交点个数为
A．3           B．2             C．1              D．0
6. 在平面直角坐标系中, 为坐标原点,点 ,将向量 绕点 按逆时针方向旋转 后得向量 ,若向量 满足 ，则 的最大值是来源进步网www.szjjedu.com
A．         B．       C．            D． 
7.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图
都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，
则此几何体的体积 为
A．             　B．        C．            　D．  来源进步网www.szjjedu.com
8. 在等腰 中， ，点 是边 上异
于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回
到原来的点 .若 ，则 的周长等于
A．         B．        C．         D． 
第Ⅱ卷（非选择题  共110分）
二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）
9. 以直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为 ,它与抛物线 ( 为参数)相交于两点 和 ,则 =      .
10. 如图,⊙ 的直径 , 是 延长线上的一点,过 作⊙ 的切线 ,连接 ,若 ,则点 到 的距离等于      . 来源进步网www.szjjedu.com
11. 已知函数 的定义域为R，则 的取值范围是      .
（二）必作题（12~16题）
12. 若二项式 的展开式的常数项为T, 则       .
13.右边程序运行的结果是            .
14．设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线 上一点，若 且 的面积为9，则 的离心率为       . 来源进步网www.szjjedu.com

15．设 为数列 的前 项和，数列 满足a1＝1，a2＝1，
且  (n＝1,2,3，…)． 则 ___________.
16. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中 ， ， ，若A、B、C中的元素满足条件： ， ， 1,2，…， ，则称 为“完并集合”.
（1）若 为“完并集合”，则 的一个可能值为       .（写出一个即可）
（2）对于“完并集合” ，则集合C的个数是           .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知向量 ，向量 ，
(Ⅰ)求函数   的最小正周期和对称轴方程；
(Ⅱ)若 是第一象限角且 ,求 的值.
18．（本小题满分12分）
为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．
（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）设摸球次数为 ，求  的分布列和数学期望．来源进步网www.szjjedu.com
19．（本小题满分12分）
已知三棱锥 , ,
， 分别是 的中点.
(Ⅰ)求证:  ；
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值.

20．（本小题满分13分）
已知函数 ， ,令 .
(Ⅰ) 当 时，求 的单调区间；
(Ⅱ) 当 时，若存在 ， 使得 成立，求 的取值范围.

21．（本小题满分13分）
    已知 是椭圆 :  的焦点，点 在椭圆 上.
（Ⅰ）若 的最大值是 ，求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 、 两点，过 、 两点分别作椭圆 的切线 ， ，且 与 交于点 ， 试问：当 变化时，点 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由.
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22. （本小题满分13分）
   已知集合 ．对于 ， ，定义； ,
； 与 之间的距离为 ．
（Ⅰ）当 时，设 ， ．若 ，求 ；
（Ⅱ）证明：若 ，且 ，使 ，则 ；
（Ⅲ）记 ．若 ， ，且 ，求 的最大值．

参考答案与评分标准
一、选择题（ ）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C C B B A
8题提示：以AB、AC所在直线分别为x、y轴建立坐标系，
则点 关于直线BC的对称点为 ，点 关于直线AC的对称点为 ，则 的周长等于
二、填空题（ ）来源进步网www.szjjedu.com
选做：9．8；     10． ；    11． ；
必做：12． ；     13．21；     14． ；   　15． ；
16．（1）9，13中任一个，（2）3．
16题提示：（2） 解：因为
而 ， ， 1,2，…， ，
所以 ，且 ， 的最小值为 6
所以 或 或
三解答题：
17解:(Ⅰ)∵  …4分
∴最小正周期  ; 对称轴方程为 …………6分
(Ⅱ)由 ,得 ……………8分
  又x是第一象限角来源进步网www.szjjedu.com
∴ ,故 …………10分
∴ …………12分
18解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．      
则  （列式正确，计算错误，扣1分）………2分
          （列式正确，计算错误，扣1分）………4分
三等奖的情况有：“马，马，上，有”；“ 马，上，上，有”；“ 马，上，有，有”三种情况．
    ……6分
（Ⅱ）设摸球的次数为 ，则 1、2、3、4.   
，     ，    ，
………………10分
故取球次数 的分布列为来源进步网www.szjjedu.com
  1 2 3 4
        
  …………12分
19证明： (Ⅰ) 面 面 ，且面 面 ，
        ， 而 ，故 .
       又 ，      由此得 ……………6分
(Ⅱ) 因D、E分别是PB、PC的中点，
   又 ，
   ………9分
令 ，则
在 中，
所以二面角P-ED-A的余弦值  ………12分来源进步网www.szjjedu.com
20解：(Ⅰ)依题意，  ……………1分
所以 = ，定义域为 ………2分
又 ……4分
当 时， ，令 ，得 或 ；
令 ，得  ；
     当 时， ；来源进步网www.szjjedu.com
     当 时， ，令 ，得 或 ；
                            令 ，得  ；
  综上所述：
           当 时， 的单调递减区间为 ，
                           的单调递增区间为
           当 时， 的单调递减区间为
           当 时， 的单调递减区间为 ，
                           的单调递增区间为 ………8分
(Ⅱ) 由(1)可知，当 时， 在区间 单调递减
所以 .
所以 .   ……10分
因为存在 ， 使得 成立，
所以 来源进步网www.szjjedu.com
整理得 .
又 ，所以 ，又因为 ，得 ，
所以 所以 ……………13分
21解:（Ⅰ）
              来源进步网www.szjjedu.com
                ………3分
因为 的最大值是 ，所以  ………4分
因此椭圆E的离心率   ………5分
（Ⅱ）当 变化时，点 恒在一条定直线 上
  证明:先证明：椭圆E: 
              
方法一：当 设 与椭圆E方程联立得：
由
所以 ，因此切线方程是  ………9分来源进步网www.szjjedu.com
方法二：不妨设 在第一象限，则由
     得   ，所以
     因此切线方程是  ………9分
设
则             
联立方程，解得  来源进步网www.szjjedu.com
又  ，
所以 
因此  ，当 变化时，点 恒在一条定直线 上。…13分
22解：（Ⅰ）当n=5 时，由
得
由              ………3分
（Ⅱ）证明：设 ，
因为 ，使
所以 ，使得
即 ，使得
所以 ……….   5分
所以 
  …………7分
（Ⅲ）解法一：因为 来源进步网www.szjjedu.com
   设 中有m( )项为非负数，n-m项为负数,
不妨设i=1,2，…,m时 ，i=m+1,m+2，…,n时
所以 =( )+
因为
所以
所以 =2（ ）来源进步网www.szjjedu.com
因为
又
所以 =2
即  ………………………12分
对于  ， ，有  ， ，
且 ， ．来源进步网www.szjjedu.com
综上， 的最大值为 ………………………13分
解法二：因为 ，有  成立．
所以 =   …12分
对于  ， ，有  ， ，
且 ， ．
综上所述， 的最大值为 …………………13分。