河北衡水中学2013—2014学年高三上数学（理科）期中考试试题及答

免费下载：河北衡水中学2013—2014学年高三上数学（理科）期中考试试题及答案
河北衡水中学2013—2014学年高三上数学（理科）期中考试试题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．平面向量 与 的夹角为60°， 则 （     ）
（A）      （B）        （C）4       （D）12
2．若集合 则“ ”是“ ”的（     ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3．已知平面向量 的夹角为 且 ，在 中， ，
  ， 为 中点，则 (    )
A.2           B.4           C.6           D.8
4．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），
则该几何体的表面积为（     ）
（A）      （B）
（C）      （D）
5．已知等差数列 中， ，记 ，S13=(    )
A．78       B．68       C．56     D．52
6．已知双曲线   的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线的方程为（    ）
A．       B．        C．        D．
7．在△ 中,角 所对的边分别为 ,且满足 ,则 的最大值是(    )
A．           B.             C.          D. 2
8．若函数 的图象在 处的切线与圆 相切，则 的最大值是（     ）
（A）4       （B）    （C）2         （D）
9. 在椭圆 中， 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得 ，则该椭圆离心率的取值范围是(    )
A．      B．       C．         D．
10．已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2 且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（　　）
A．     B.             C.          D. 
11．已知定义在R上的函数 对任意的 都满足 ，当  时， ，若函数 至少6个零点，则 取值范围是（      ）
（A）    （B）   （C）    （D）
12．对于定义域为 的函数 和常数 ，若对任意正实数 ， 使得 恒成立，则称函数 为“敛 函数”．现给出如下函数：
① ； ② ；③  ； ④ .
其中为“敛1函数”的有
A．①②           B．③④      C． ②③④         D．①②③
Ⅱ卷  非选择题  （共90分）
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13. 过点 的直线与圆 截得的弦长为 ，则该直线的方程为              。
14已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为　   　．
15.如果直线 和函数 的图象恒过同一
个定点，且该定点始终落在圆 的内部或圆上，那么 的取值范围
_____________.
16．已知函数 定义在R上的奇函数，当 时， ，给出下列命题：
①当 时，            ②函数 有2个零点
③ 的解集为        ④ ，都有
其中正确的命题是     
三、解答题（共7个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
17．如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于 ，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；
（2）设 ,求 面积的最大值及此时 的值。
18. 数列 的前 项和为 ，且 是 和 的等差中项，等差数列 满足 ， .
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .

19．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求点B到平面MAC的距离．
20．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ，且椭圆C上一点 到点Q 的距离最大值为4，过点 的直线交椭圆 于点
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足 （O为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围.
21．已知函数f（x）=alnx+ （a≠0）在（0， ）内有极值．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若x1∈（0， ），x2∈（2，+∞）且a∈[ ，2]时，求证：f（x2）﹣f（x1）≥ln2+ ．
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22. 如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形.
（Ⅰ）求AM的长；
（Ⅱ）求sin∠ANC．

23.已知函数 。
（1）若 的解集为 ，求实数 的值。
（2）当 且 时，解关于 的不等式 。
答案
一、选择题
BAAAD   CADBC   AC来源进步网www.szjjedu.com
11. 由 得 ，因此 ，函数周期为2.因函数 至少6个零点，可转化成 与 两函数图象交点至少有6个，需对底数 进行分类讨论.当 时：得 ，即 .当 时：得 ，即 .所以 取值范围是 .
12. ① ；由于函数递增，那么不会存在一个正数 ，满足不等式。
② ；当x>0,c=2,那么存在x，满足题意，成立。
③  ；对于1<x<2,令c=1,,时符号题意。
④ .=1- ，x>1,c=3，则可知满足题意。故选C.
二、填空题
13、   14、1  15、     16. ③④
14. 由题意，设C（x0，y0），则⊙C的方程（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=x02+（y0﹣p）2．
把y=0和x02=2py0代入整理得x2﹣2x0x+x02+p2=0．
设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1=x0﹣p，x2=x0+p．∴|MN|=|x1﹣x2|=2p．
∵|CM|=|CN|= =
∴ =1﹣ ∴﹣1≤cos∠MCN＜1，
∵0＜∠MCN＜π∴0＜sin∠MCN≤1，
∴sin∠MCN的最大值为1故答案为：1
16. 设 ，则 ，故 ，所以 ，故①错；因为 定义在R上的奇函数，所以 ，又 ， ，故 有 个零点，②错；当 时，令 ，解得 ，当 时，令
解得 ，综上 的解集为 ，③正确；当 时， ， 在 处取最小值为 ，当 时， ， 在 处取最大值为 ，由此可知函数 在定义域上的最小值为 ，最大值为 ，而 ，所以对任意的 ，都有 ，④正确
三、解答题
17、
18、（1）∵ 是 和 的等差中项，∴                           
当 时， ，∴                                   
当 时， ，
∴  ，即                                                3分
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，                                                   5分
设 的公差为 ， ， ，∴                 
∴                                                6分
（2）                       7分
∴        9分
∵ ,∴                                    10分

∴数列 是一个递增数列      ∴ .                                                 
综上所述，                                                 12分
19、解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）
（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．
由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．
在△ACN中， ．
在Rt△AMN中， ．
在Rt△NCH中， ．
在Rt△MNH中，∵ ，∴ ．
故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为 ．（8分）
（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，
∴点N到平面MAC的距离为 ．
∵点N是线段BC的中点，
∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为 ．（12分）
方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．
设P（0，0，z），则 ． ．
∵ ，
且z＞0，∴ ，得z=1，∴ ．
设平面MAC的一个法向量为 =（x，y，1），则由
得 得 ∴ ．
平面ABC的一个法向量为 ． ．
显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为 ．（8分）
（3）点B到平面MAC的距离 ．（12分）
20、解析：（Ⅰ）∵  ∴           （1分）
则椭圆方程为 即
设 则
       

当 时， 有最大值为        
解得 ∴ ，椭圆方程是         （4分）
（Ⅱ）设 方程为
由     整理得 .          
由 ，得 .
                （6分）
∴    则 ,
         
由点P在椭圆上，得 化简得 ①  （8分）
又由 即 将 ， 代入得
       化简，得
则 ,    ∴ ②      （10分）
由①，得
联立②，解得 ∴ 或       （12分）
21．解：（I）由f（x）=alnx+ （a≠0），得： ，
∵a≠0，令 ，∴g（0）=1＞0．
令 或 ，  则0＜a＜2．
(II）由（I）得： ，
设ax2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，
则 ，得 ．
当x∈（0，α）和（β，+∞）时， ，函数f（x）单调递增；
当x∈ 和（2，β）时， ，函数f（x）单调递减，
则f（x1）≤f（a），f（x2）≥f（β），
则f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α）=alnβ ﹣alnα﹣
= = （利用 ）
令 ，x＞2则 ，
则函数h（x）单调递增， h（x）≥h（2）=2ln2+ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴f（x1）﹣f（x2）≥ln2+ ．
22、（Ⅰ）连接 ，则 ，因为四边形 是平行四边形，所以 ∥ ，因为 是 的切线，所以 ，可得 ，又因为 是 的中点，所以 ，得 ，故 .          （5分）
（Ⅱ）作 于 点，则 ，由（Ⅰ）可知 ，
故 .                    （10分）
23.解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，
所以 解之得 为所求．            4分
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
所以
当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式

解得x＜2﹣2t或 或x∈ϕ，即 ；
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为 ．         10分