北京市密云县2013-2014学年初三上数学期末考试卷及答案

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北京市密云县2013-2014学年初三上数学期末考试卷及答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（   ）来源进步网www.szjjedu.com
A．5cm ，6cm，7cm，8cm    B．3cm ，6cm，2cm，5cm
C．2cm ，4cm，6cm，8cm    D．12cm ，8cm，15cm，10cm
2．两个三角形周长之比为9∶5，则面积比为（   ）来源进步网www.szjjedu.com
A．9∶5        B．81∶25      C．3∶5      D．不能确定
3．在△ABC中，∠C =90º，若cosB=  ，则∠B的值为（    ）．
A．300           B．600          C．450          D． 900
4. 如右图，C是⊙O上一点，O为圆心，若∠C＝40°，则∠AOB为（   ）
A．20°        B．40°          C．80°         D．160°来源进步网www.szjjedu.com
5．若⊙ O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙ O的位置关系是（ 　　）
  A.点A在圆外    B. 点A在圆上     C. 点A在 圆内    D.不能确定来源进步网www.szjjedu.com
6．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　）
　      A. y=（x﹣2）2 B． y=（x﹣2）2+6[来源:学,科,网] C． y=x2+6 D． y=x2来源进步网www.szjjedu.com
7. 一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色可以不同外其他完
   全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（　　）来源进步网www.szjjedu.com
　  A．   B．   C． D． 
8. 如图，已知A、B是反比例函数 上的两点，BC∥x
轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，
终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四
边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致
是（　　）来源进步网www.szjjedu.com
          A                   B                      C                      D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若5x=8y，则x ：y =          . 来源进步网www.szjjedu.com
10．已知：如图，DE∥BC，AE = 5，AD = 6，DB = 8 ，则EC=______.
11．如果圆的半径为6, 那么60°的圆心角所对的弧长为______.
12．如图，在标有刻度的直线 上，从点A开始，来源进步网www.szjjedu.com
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆．
……,按此规律，连续画半圆，则第4个来源进步网www.szjjedu.com
半圆的面积是第3个半圆面积的　　　　　倍。第 个半圆的面积为　　　　　　．（结果保留 ）
三、解答题（本题共50分，每小题5分）
13．计算：sin30•cos60－cos30•tan60来源进步网www.szjjedu.com

14．已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.
    求证:AC2 = AD•AB

15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高. 来源进步网www.szjjedu.com


16．. 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，半径为5 ㎝， 过O作OC AB
求点O与AB的距离．来源进步网www.szjjedu.com

17．已知二次函数 .
(1) 求顶点坐标和对称轴方程；来源进步网www.szjjedu.com
（2）求该函数图象与x标轴的交点坐标；
（3）指出x为何值时， ；  当x为何值时， .

18．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，
其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为 m，DC的长为 m.
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案. 来源进步网www.szjjedu.com

19．小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况．
（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．来源进步网www.szjjedu.com

20．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）来源进步网www.szjjedu.com


21．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．来源进步网www.szjjedu.com
（1）求证：点F是AD的中点；来源进步网www.szjjedu.com
（2）求cos∠AED的值；来源进步网www.szjjedu.com
（3）如果BD=10，求半径CD的长．

22．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件。
（1）分别测量下面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现. 来源进步网www.szjjedu.com

(2) 如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合下面的两个图说明其中的道理.（提示：考虑 ）来源进步网www.szjjedu.com

由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.
四、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．来源进步网www.szjjedu.com
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．来源进步网www.szjjedu.com

24．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．来源进步网www.szjjedu.com
    (1)如图①，当PA的长度等于  ▲  时，∠PAB＝60°；
     当PA的长度等于  ▲  时，△PAD是等腰三角形；来源进步网www.szjjedu.com
    (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．来源进步网www.szjjedu.com

25.阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把来源进步网www.szjjedu.com
四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上来源进步网www.szjjedu.com
的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；来源进步网www.szjjedu.com
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：来源进步网www.szjjedu.com
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

参考答案
一、选择题
   1D  2B  3A  4C  5C  6D  7B  8A
二、填空题
   9. ， 10.    11.      12. 4，
三、解答题(每小题5分,共40分) 来源进步网www.szjjedu.com
13．sin30° －cos30°• °来源进步网www.szjjedu.com
  - - -4分
- - - - - - - - - 5分
14．∵∠ACB= ,  ,来源进步网www.szjjedu.com
∴  ………………………… …2分
  
            ………………………3分
∴ …    …………………………………4分
   …………5分
15.来源进步网www.szjjedu.com
16．连结OA. ………………………………………………1分
∵OC⊥AB于点C，
∴ . ………………3分
OA=5
OC=3………………5分
即O与AB的距离为 3cm. 来源进步网www.szjjedu.com

17．（1）顶点坐标：(2,1) 来源进步网www.szjjedu.com
        对称轴：x=2……………………………1分
   （2） (1,0)  (3,0) ……………………………1分
   （3）当x<1,x>3时，y>0；当1<x<3时，y<0；…………3分

   （4）作图正确2分. 来源进步网www.szjjedu.com

          从树状图可看出小明和小亮抽得的数字之和可能有是：2，3，4，5，6；……3分
   （2）因为和为偶数有5次，和为奇数有4次，所以P（小明胜）= ，P（小亮胜）= ，
        所以：此游戏对双方不公平．………5分. 来源进步网www.szjjedu.com
20.过C作CD⊥AB于D，………………1分来源进步网www.szjjedu.com
    在Rt△ACD中，
    ∵AC=10，∠A=30°，
    ∴DC=ACsin30°=5，  ………………2分
    AD=ACcos30°=5 ，………………3分
    在Rt△BCD中，
    ∵∠B=45°，
    ∴BD=CD=5，BC=5 ，………………4分
    则用AC+BC﹣（AD+BD）=10+5 ﹣（5 +5）=5+5 ﹣5 （千米）．
    答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5 ﹣5 ）千米．………………5分
21．
（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，来源进步网www.szjjedu.com
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED为⊙O直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，来源进步网www.szjjedu.com
∴点F是AD的中点；………………2分
（2）解：连接DM，
设EF=4k，df=3k，
则ED= =5k，
∵ AD•EF= AE•DM，
∴DM= = = k，来源进步网www.szjjedu.com
∴ME= = k，
∴cos∠AED= = ；………………4分
（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE2=CE•BE，
∴（5k）2= k•（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD= k=5．………………6分
22．（1）对角互补（对角之和等于 ）………2分
(2) 图1中，         ………3分
    图2中，         ………4分
    过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是
    对角互补（对角之和等于 ）
五、解答题（23题6分，24题7分，25题7分）
23．（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，
由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），
∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），
令x=0，得y=﹣5a，
∴C点的坐标为（0，﹣5a）．
依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．
S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC
=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，
而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，
∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1；  ……3分
（2）如解答图所示，来源进步网www.szjjedu.com
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，
设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，来源进步网www.szjjedu.com
即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，
∵a＞0，∴a= .
∴抛物线的解析式为：y= （x+5）（x﹣1）= x2+ x﹣ ．……7分 
25. （1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，来源进步网www.szjjedu.com
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．（2分）
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．………………3分
（2）作图如下：来源进步网www.szjjedu.com

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，来源进步网www.szjjedu.com
∴∠BCE=∠BCD=30°，来源进步网www.szjjedu.com
∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，来源进步网www.szjjedu.com
∴ ，∴ .来源进步网www.szjjedu.com