北京市顺义区2013—2014学年九年级上数学期末考试试卷及答案

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北京市顺义区2013—2014学年九年级上数学期末考试试卷及答案
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的相反数是来源进步网www.szjjedu.com
A．          B．          C．          D． 
2．世界文化遗产长城总长约为6 700 000m，若将6 700 000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为
  A．5         B．6         C．7         D．8
3．下列三角函数值错误的是来源进步网www.szjjedu.com
A．sin           B．   C．           D．
4．如图，D是 的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是
A．          B． C．             D． 来源进步网www.szjjedu.com
5．如图，在△ABC中， ， ，以点C为圆心， 为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 的度数为
A．       B．       C．        D．
6．点P（m，n）在反比例函数 （ ）的图象上，其中m，n 是方程 的两个根，则k的值是来源进步网www.szjjedu.com
A． 或          B． 或        C．          D． 
7． 不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为
A．  　　　 B．     　  C．    　　D． 来源进步网www.szjjedu.com
8．如图，等边三角形 的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A B C的方向运动，到达点C时停止，设点M运动的路程为x， 为y，则y关于x的函数图象大致为
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．分解因式：                 ．来源进步网www.szjjedu.com
10．请写出一个开口向下，并且与 y 轴交于点（0，2）的抛物线的解
析式 ， y              ． 
11．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为
        cm．
12．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为       ．
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三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分）
13．计算： ．
14．解不等式组：
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15．如图，在 中， ， ， 于 .
求证： ．
16．已知二次函数 的图象如图所示，
求此二次函数的解析式和抛物线的顶点坐标．
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17．已知：如图，在 中，
求 的长．
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四、解答题（共3道小题，每小题5分，共15分）
18．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，
且OD∥BC．
求证：AD=DC．
19．一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球 ，它们除颜色外都相同．来源进步网www.szjjedu.com
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于 ，问至少取出了多少个黑球？
20 ．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数 （x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．
（1）求证：线段AB为⊙P的直径；来源进步网www.szjjedu.com
（2）求△AOB的面积；
五、解答题（共2道小题，21小题5分，22小题6分，共11分）
21．如图，□ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若 ，AD=2，∠B=45°， ，求CF的长．
22．如图，平面直角坐标系中，以点C（2， ）为圆心，以2为半径的圆与 轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若二次函数 的图象经过点A、B，试确定此二次函数的解析式．
六、解答题（共3道小题，23小题6分，24小题7分，25小题8分，共21分）
23．如图，在Rt 中， ，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；来源进步网www.szjjedu.com
（2）过点E作EF⊥DE，交AB于点F．若AC=3，
BC＝4，求DF的长．
24．如图， 和 都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．
（1）求证： ；
（2）若 是边长可变化的等腰直角三角形，并将 绕点 旋转，使CE的延长线始终与线段BD（包括端点B、D）相交．当 为等腰直角三 角形时，求出 的值．来源进步网www.szjjedu.com                
25．已知：如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点A（6，0）和点B（3， ）．
（1）求抛物线 的解 析式；
（2）将抛物线 沿x轴翻折得抛物线 ，求抛物线 的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线 上是否存在点M，使 与 相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．来源进步网www.szjjedu.com
参考答案及评分细则
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 A B D C C D C B
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9． ；    10．答案不唯一，如： ；    11．18；    12． ．
三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分）
13．解： 来源进步网www.szjjedu.com
          ……4分
          来源进步网www.szjjedu.com
          …………………5分
14．解：由 ，得
         ．   ……………2分
       由 ，得
  ． …………4分来源进步网www.szjjedu.com
       不等式组的解集为 ．……… 5分
15．证明：在 中， ， ，
∴ ， ……2分
∵ ，
∴ ，……… 3分
又∵ ， ………4分
∴ ． ……5分
16．解：由图象可知：二次函数 的图象过点（0，3）和（1，0），
∴    …2分来源进步网www.szjjedu.com
解得   
∴二次函数的解析式为 ．… 3分
∵ 
．  …… 4分来源进步网www.szjjedu.com
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）． ……5分
17．解：过点A作AD⊥BC于D．………………… 1分
在Rt 中， 
∴ ．来源进步网www.szjjedu.com
∴ ………2分
   ．………… 3分
在Rt 中， 
∴ ．……………… 4分
∴ ．……………5分
四、解答题（共3道小题，每小题5分，共15分）
18．解：连结OC．来源进步网www.szjjedu.com
∵OD∥BC，
∴  ∠1=∠B，∠2=∠3．………2分
又∵ ，
∴∠B=∠3．……… 3分[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∴∠1=∠2． ………… 4分
∴ ．……………………5分
19．解：（1）摸出一个球是黄球的概率 ．… 2分来源进步网www.szjjedu.com
（2）设取出 个黑球．由题意，得 ．………… 3分
解得 ．……… 4分
的最小正整数解是 ．
答：至少取出9个黑球．………… 5分
20．解：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．……………2分
（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），来源进步网www.szjjedu.com
∵点P是反比例函数 （x＞0）图象上一点，
∴mn=12．………3分
过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，… 4分来源进步网www.szjjedu.com
∴S△AOB= BO•OA= ×2n×2m=2mn=2×12=24．… 5分
五、解答题（共2道小题，21小题5分，22小题6分，共11分）
21．解：过点A作AM⊥BE于点M．
在Rt△ABM中，
∵∠B=45°， ，来源进步网www.szjjedu.com
∴ ．… 1分
∵ ，
∴ ．
∴EM=2．…… 2分
∴BE=BM+ME=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2，DC=AB= ，AD∥BC来源进步网www.szjjedu.com．
∴CE=BE-BC=1．…… 3分
∵AD∥BC，
∴∠1=∠E，∠D=∠2．
∴ ．… 4分
∴ ．
∵DC= ，
∴ ．……5分来源进步网www.szjjedu.com
22．解：（1）过点C作CM⊥ 轴于点M，则点M为AB的中点．……1分
∵CA=2，CM= ，
∴AM= =1．
于是，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）．…3分
（2）将（1，0），（3，0）代入 得，
   解得 …5分来源进步网www.szjjedu.com
所以，此二次函数的解析式为 ． ……6分
六、解答题（共3道小题，23小题6分，24小题7分，25小题8分，共21分）
23．（1）证明：连结OD，CD．来源进步网www.szjjedu.com
∵ 是直径，
∴ ．…… 1分
∴ ．
∵E是BC的中点，
∴ ．
∴ ．
∵OC=OD,
∴∠3 =∠4 ，
∴ ．
即 ．来源进步网www.szjjedu.com
∵ ,
∴ .………2分
又∵ 是半径，
∴DE是⊙O的切线． ……3分
  （2）解：在Rt△ABC中，
∵ ，AC=3，BC＝4，
∴AB=5．  ………4分
∴ ．来源进步网www.szjjedu.com
∵E是BC的中点，
∴ ．…5分
∴ ．
∴ ．
∴ ． ……6分来源进步网www.szjjedu.com

24．解：（1）证明：∵ ，
∴ ．
∴ ．…… 1分
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ．………2分
又 ，  …… 3分
∴ ．………4分
（2）解：∵ ，来源进步网www.szjjedu.com
∴ ．
①当 ，DE=BE时，如图①所示，         
  设AD=AE=x，则 ．                    
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ．
∴ ．来源进步网www.szjjedu.com
∵ + ，     图①
∴ ．                  
∴ ．  …5分
②当 ，DE=DB时，如图②所示，
  同理设AD=AE=x，则 ．
  ∴ ．
∵ ，
∴ ．来源进步网www.szjjedu.com
∴ ． ……………… 6分            图②[来源:学科网]
   ③当 ，BD=BE时，如图③所示， [来源:学科网ZXXK]
同理设AD=AE=x，则 ．
∴BD=BE=x．
∴四边形ADBE是正方形，
∴ ．
∴ ．  …………7分               图③
25．解：（1）依题意，得    　　解得
∴抛物线 的解析式为 ．……　2分来源进步网www.szjjedu.com
（2）将抛物线 沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点 ．
设抛物线 的解析式为 ，
∴     解得 来源进步网www.szjjedu.com
∴抛物线 的解析式为 ．………………………5分
       （3）过点B作BC⊥x轴于点C，
则有 ．
∴ ， ．
∵OC=3，OA=6，来源进步网www.szjjedu.com
∴AC=3.
∴ ， ．
∴OB=AB．
即 是顶角为120º的等腰三角形．
分两种情况：
①当点M在x轴下方时，
就是 ，此时点M的坐标为 ．
            ②当点M在x轴上方时，假设   ，
则有AM=OA=6， ．
过点M作MD⊥x轴于点D，则 ．来源进步网www.szjjedu.com
∴ ， ．  ∴OD=9.
而（9， ）满足关系式 ，
即点M在抛物线 上．来源进步网www.szjjedu.com
根据对称性可知，点 也满足条件．
综上所述，点M的坐标为 ， ， ．来源进步网www.szjjedu.com