北京市房山区2013-2014学年九年级上数学期末考试试题及答案

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北京市房山区2013-2014学年九年级上数学期末考试试题及答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．来源进步网www.szjjedu.com
1. 抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是来源进步网www.szjjedu.com
A. (1，-2)      B. (1，2)        C. (-1，2)            D. (-1，-2)
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC等于
   A．20°        B．40°         C．60°              D．80°
3． 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanA等于来源进步网www.szjjedu.com
A．          B．         C．              D．
4. 如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一 点，若矩形PEOF的
    面积为3，则反比例函数的解析式是
   A.         B.        C.              D.
5. 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为
   A．            B．            C．                 D． 
6. 如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连接OC，
   若OC=5，AE=2，则CD等于
   A．3            B．4            C．6                 D．8
7.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数  的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y = kx 的图象上，且OA⊥OB ，tanA= ，则k的值为
A．-3         B.       C.  -6   D. 
8. 如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一
动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且
PE=PB. 设AP=x , △PBE的面积为y. 则下列图象中，
能表示 与 的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 若把代数式 化为 的形式，其中 、 为常数，则 =           .
10. 若扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为________________.
11. 如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是 的中点，点P是直径
    MN上一动点，若⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值是                ．
12. 如图，已知△ABC的面积S△ABC=1.
在图（1）中，若 , 则 ;
在图（2）中，若 , 则 ;
在图（3）中，若 , 则 ;
按此规律，若 , 则              
若 , 则                .
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
13.计算：  
解：

14.已知：如图，在⊙O中，弦 交于点 ， ．
求证： ．
   证明：

15. 已知：如图，在△ABC中，AC＝10， 求AB的长．
解：


16 .如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝30°，AB＝ ．求BC的长．
解：



17． 如图，一次函数y=3x的图象与反比例函数 的图象的一个交点为A(1 ,  m)．
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点 的坐标(不写求解过程)．
    解：


18. 如图，在平面直角坐标系 中， 的外接圆与 轴交于点 ， ，求 的长． 
解：


四、解答题(本题共20分，每小题5分)
19. 已知关于x的一元二次方程    ．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若二次函数 的图象与 轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．
解：


20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是      个单位长度；[来源:学科网ZXXK]
（2）△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是        ；
（3）△AOC绕原点O顺时针旋转可以得到△DOB，则旋转角度是          度，在此旋转过程中，△AOC扫过的图形的面积是          ．




21. 如图 , 已知二次函数y = x －4x + 3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），               交y轴于点C.
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标.
解：



22. 如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，点 为  的中点，连结 交 于点 ，且 .
（1）判断直线 与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若 的半径为2, ,求 的长.
解：



五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
23. 已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点（-1， 0）和点（2，-9）．
    (1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；
    (2) 已知点P（2 , -2），连结OP , 在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标(不写求解过程).
解：


24. 抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1) 求此抛物线的解析式；
  (2) 抛物线上是否存在点P,使 ,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
解：



25.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD =∠CAB；
（2）已知抛物线 过A、B、C三点，AB=10 ，tan∠CAD= ．
① 求抛物线的解析式；
   ② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．
解：

一、选择题（每题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B A D C D
二、填空题（每题4分）
9.   0         10.            11.            12.   
三、解答题
7. 解：原式        ………………5分
8. 证明：连结AC    ………………1分来源进步网www.szjjedu.com
         ∵AD=BC     ………2分
         ∴     …………3分
         ∴∠ACD=∠CAB …………4分
         ∴AE=CE  ………………………5分

15. 证明：作AD⊥BC于D  ……………………1分
        ∵
        ∴                ……………3分
       又∵
        ∴             …………5分
16. 解：作BE⊥AD于E …………………………1分
     则∠AEB=∠BED=∠C=90°
     ∵∠A=45°，∠ABD=75°
     ∴∠ABE=∠A=45°，∠DBE=∠CBD=30°
     ∴AE=BE
∵AB=2
  ∴ …………………3分
∵∠DBE=∠CBD=30，
∠BED=∠C=90°，
BD=BD，
      ∴△BDE ≌△BDC来源进步网www.szjjedu.com
      ∴BC=BE=2………………5分
17.  解：(1) 将A(1，m）代入y=3x中，m=3×1=3
                    ∴A（1 , 3）………………………………1分
                  将A(1，3)代入 中，得
            k=xy=3  ……………………………………2分
      ∴反比例函数解析式为 ………………3分来源进步网www.szjjedu.com
    （2）      …………………5分
18.解：连接AB、AC
         ∵∠AOB=90°
         ∴AB为直径          ……………1分
         

          ∴∠ABO=∠ACO=30°
          ∵∠COB=45°，
          ∴∠CAB=45°
          ∵AB为直径，
          ∴∠ACB=90°
          ∴∠ABC=45°
          ∴ ∠AOC=45°来源进步网www.szjjedu.com
作AD⊥OC于D       ………………………2分
∵
∴AD=OD=1，          ………………………3分
∴               ………………………4分
∴         ……………………5分
19.解：（1）∵ 
                               …………………………1分
∴  
∴无论k取何值，方程总有两个实数根.……………………2分
(2)  依题意得来源进步网www.szjjedu.com

  ……………………………3分
……………………………4分
∴           ……………………………5分
20. （1）2； (2) y轴；（3）   （最后一空2分，其余每空1分）
21. 解：（1）A(1，0) 、B(3，0) 、C(0，3）
                ∴直线BC的解析式为：y= -x+3 ………………………………2分
               （2）设过点D  与BC平行的直线解析式为 
                         ∴      
      …………………………………………………………………3分
         ………………………4分

  ………………………………………………………………5分
22. ⑴  与⊙O相切
证明：连接 ，来源进步网www.szjjedu.com
     ∵ 是 的直径
∴
     ∴   
     ∵
     ∴   
  又 ∵ 为 的中点
     ∴   …………………1分
     ∴  
        即
   又∵ 是直径 
∴ 是 的切线  …………………………………………………2分
（2）∵ 的半为2
∴ ,
∵ 来源进步网www.szjjedu.com
由（1）知， ，
∴  ,
∴  ,  ……………………………………………………3分
∵ , 
     ∴ ∽ ，
     ∴
     ∴ ，    ……………………………………………………4分
      设 
       由勾股定理   ，  （舍负）来源进步网www.szjjedu.com
      ∴        ……………………………5分
23.解：（1）              ……………………2分
                       对称轴是x=2            ………3分
            （2）   ……7分
24.  解：（1）      …………2分
（2） 
直线AB的解析式为：      ………3分
设过点C 与AB 平行的直线的解析式为  ，由C(1,4)得 
∴设过点C 与AB 平行的直线的解析式为： 来源进步网www.szjjedu.com
∴该直线与y轴的交点为：F(0，5)
∴线段BF的中点E的坐标为（0，4）
∴过点E 与AB 平行的直线的解析式为
∴解  得 
∴         ………5分
点E 关于点B 的对称点为H（0，2），过点H 与AB 平行的直线的解析式为
∴解  得 来源进步网www.szjjedu.com
∴            ……………7分
25. (1)证明：连接O'C,∵ CD是⊙O’的切线    ∴ O'C⊥CD........1分
∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD来源进步网www.szjjedu.com
∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB  ∴ ∠CAD=∠CAB     ........2分
(2)∵AB是⊙O’的直径，∴∠ACB=90°. 
∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴ 即OC²=OA∙ OB
∵tan∠CAO=tan∠CAD= ,  ∴AO=2CO
又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO),  ∵CO>0  ∴CO=4,AO=8,BO=2
∴A(-8,0),B(2, 0),C(0,4) .............................3分
∵ 抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，∴c=4
∴       解得       ....4分
设直线DC交x轴于点F，易得∆AOC∽∆ADC
∴ AD=AO=8,  ∵O'C‖AD  ∴∆FO’C∽∆FAD  ∴ 
∴8(BF+5)=5(BF+10),  ∴  BF= ,  F( ,0) 来源进步网www.szjjedu.com
设直线DC的解析式为y=kx+m,则    即
∴        ....5分
由
将E（-3， ）代入直线DC的解析式 中来源进步网www.szjjedu.com
右边= 来源进步网www.szjjedu.com
∴ 抛物线顶点E在直线CD上  .....6分
存在,    .........8分