北京市西城区2013—2014学年高三上数学(文科)期末考试试卷及答案

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北京市西城区2013—2014学年高三上数学(文科)期末考试试卷及答案
第Ⅰ卷（选择题  共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．来源进步网www.szjjedu.com
1．设集合 ， ，则集合 （   ）
（A）        （B）       （C）        （D）
2．已知命题 ：“ ， ”，那么 是（   ）来源进步网www.szjjedu.com
　（A） ， ，             （B） ，　（C） ，                 （D） ，
3．在平面直角坐标系 中，点 ， ，若向量 ，则实数 （   ）
（A）          （B）            （C）             （D） 来源进步网www.szjjedu.com
4．若坐标原点在圆 的内部，则实数m的取值范围是（    ）
　（A）             （B）　（C）         （D）
5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（   ）
  （A）           （B）（C）           （D） 来源进步网www.szjjedu.com

6． 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则实数 , 满足（   ）
（A）              （B）（C）             （D）
7．定义域为R的函数 满足 ，且当 时， ，则当 时， 的最小值为（    ）来源进步网www.szjjedu.com
（A）         （B）           （C）          （D） 
8.在平面直角坐标系 中，记不等式组 所表示的平面区域为 . 在映射 的作用下，区域 内的点 对应的象为点 ，则由点 所形成的平面区域的面积为（     ）来源进步网www.szjjedu.com
（A）         （B）4       （C）8          （D）16
第Ⅱ卷（非选择题  共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知复数z满足 ，那么 ____________．
10．在等差数列 中， ， ，则公差 ___________；前17项的和 ________.来源进步网www.szjjedu.com
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若 ， ， ，则 ______；  ______.
13．设函数 　则 ______；若函数 存在两个零点，则实数 的取值范围是______.来源进步网www.szjjedu.com
14．设 为平面直角坐标系 内的点集，若对于任意 ，存在 ，使得 ，则称点集 满足性质 . 给出下列三个点集：
○1 ；
○2 ；来源进步网www.szjjedu.com
○3 .来源进步网www.szjjedu.com
其中所有满足性质 的点集的序号是______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）来源进步网www.szjjedu.com
已知函数 ， ，且 的最小正周期为 .
（Ⅰ）若 ， ，求 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调增区间.

16．（本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以 表示．来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当 时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．

17．（本小题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：平面BDGH//平面AEF；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积.



18．（本小题满分13分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数， .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）当 时，求函数 的最小值.


19．（本小题满分14分）
已知 是抛物线 上的两个点，点 的坐标为 ，直线 的斜率为 .设抛物线 的焦点在直线 的下方.
（Ⅰ）求k的取值范围；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）设C为W上一点，且 ，过 两点分别作W的切线，记两切线的交点为 . 判断四边形 是否为梯形，并说明理由.


20．（本小题满分13分）
设无穷等比数列 的公比为q，且 ， 表示不超过实数 的最大整数（如 ）,记 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 .
（Ⅰ）若 ，求 ；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）证明：  （ ）的充分必要条件为 ；
（Ⅲ）若对于任意不超过 的正整数n，都有 ，证明： .



参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D      2．D      3．A      4．C      5．B      6．C       7．A      8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．          10．               11．              12．                    
13．                           14．○1○3来源进步网www.szjjedu.com
注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为 的最小正周期为 ，
      所以  ，解得 ．      ……………… 3分来源进步网www.szjjedu.com
      由  ，得 ，
即  ，              ……………… 4分
      所以  ， .
      因为  ，
      所以 .      ……………… 6分
（Ⅱ）解：函数  来源进步网www.szjjedu.com
              ……………… 8分
           
，             ………………10分
由  ，        ………………11分来源进步网www.szjjedu.com
解得  ．                    ………………12分
所以函数 的单调增区间为 .…………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，得 ，      ……3分
解得  .                                               … 4分
（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 ，          ……… 5分
依题意  ，共有10种可能.                    …… 6分来源进步网www.szjjedu.com
由（Ⅰ）可知，当 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 7分
所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 ．     ……… 8分
（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件 ，…… 9分
当 时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有 种， 它们是： ， ， ， ， ， ， ， ， ，                                                   ………10分
所以事件 的结果有7种，它们是： ， ， ， ， ， ， .                                              ……… 11分
因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率 .
……13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四边形 是正方形，来源进步网www.szjjedu.com
所以 .                                            ……… 1分
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，
所以 平面 .                                     ……… 4分
（Ⅱ）证明：在 中，因为 分别是 的中点，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 平面 .               ……………… 6分                    
设 ，连接 ，
在 中，因为 ， ，
所以 ，来源进步网www.szjjedu.com
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .                               … 8分
又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 .                          ……10分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得  平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
      又因为 ，四边形 的面积 ，……………11分
所以四棱锥 的体积 .    ………………12分
同理，四棱锥 的体积 .
所以多面体 的体积 .        ………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为 ， ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ．                     …… 2分
令 ，得 ．                  …… 3分
当 变化时， 和 的变化情况如下：
      
      
  ↘  ↗
……………… 5分
故 的单调减区间为 ；单调增区间为 ．………… 6分来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得 的单调减区间为 ；单调增区间为 ．
所以当 ，即 时， 在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 ；     … 8分来源进步网www.szjjedu.com
当 ，即 时，
在 上单调递减，  在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 ；………10分
当 ，即 时， 在 上单调递减，
故 在 上的最小值为 .  ………12分
所以函数 在 上的最小值为   ……13分
19．（本小题满分14分）来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）解：抛物线 的焦点为 .                     …… 1分
由题意，得直线 的方程为 ，            ……… 2分
令  ，得 ，即直线 与y轴相交于点 ……… 3分
因为抛物线 的焦点在直线 的下方，
所以  ，来源进步网www.szjjedu.com
解得  .
因为  ，
所以  .                                     …… 5分
（Ⅱ）解：结论：四边形 不可能为梯形.             …… 6分
      理由如下：来源进步网www.szjjedu.com
假设四边形 为梯形.                        …… 7分
由题意，设 ， ， ，
联立方程 
消去y，得 ，  来源进步网www.szjjedu.com
由韦达定理，得 ，所以  .        ……………… 8分
同理，得 .                            ………… 9分
对函数 求导，得 ，
所以抛物线 在点 处的切线 的斜率为 ， ……… 10分
抛物线 在点 处的切线 的斜率为 .  ………11分
由四边形 为梯形，得 或 .
若 ，则 ，即 ，来源进步网www.szjjedu.com
     因为方程 无解，所以 与 不平行.     ……12分
若 ，则 ，即 ，
     因为方程 无解，所以 与 不平行.……13分
所以四边形 不是梯形，与假设矛盾.
因此四边形 不可能为梯形.                    ………14分
20．（本小题满分13分）来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）解：因为等比数列 的 ， ，
所以  ， ， .             ……… 1分
   所以  ， ， .             …… 2分
      则  .                   ……… 3分
（Ⅱ）证明：（充分性）因为  ，来源进步网www.szjjedu.com
所以   对一切正整数n都成立.
因为  ， ，
所以  .                                  … 5分
（必要性）因为对于任意的 ， ，
当 时，由 ，得 ；    ……………… 6分
当 时，由 ， ，得 .来源进步网www.szjjedu.com
所以对一切正整数n都有 .                …………… 7分
因为  ， ，
所以对一切正整数n都有 .                 ………… 8分
（Ⅲ）证明：因为  ，来源进步网www.szjjedu.com
所以  ， .  ………… 9分
因为  ，
所以  ， .     ………………10分
     由  ，得  .                   ………11分
因为  ，
     所以  ，来源进步网www.szjjedu.com
所以  ，即  .        ……13分