黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高二上数学(文)期末试题及答

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黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高二上数学(文)期末试题及答案
一、选择题: 来源进步网www.szjjedu.com
1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分非必要条件       B．必要非充分条件
C．充要条件             D．既不充分也不必要条件来源进步网www.szjjedu.com
2.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是(    )
A.椭圆        B.直线      C.圆     D.线段来源进步网www.szjjedu.com
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是(　　)
A.14　    B.12      C．2   D．4来源进步网www.szjjedu.com
4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　) 来源进步网www.szjjedu.com
A．6　    B．8        C．10        D．12
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) 来源进步网www.szjjedu.com
A. 4x－y－3＝0  B．x＋4y－5＝0  C．4x－y＋3＝0  D．x＋4y＋3＝0
6. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　) 来源进步网www.szjjedu.com
A.－37     B．－29    
C．－5       D．以上都不对来源进步网www.szjjedu.com
7.若如图所示的程序框图输出的S的值为126，
则条件①为(　　)
A．n≤5?    B．n≤6?C．n≤7?    D．n≤8? 来源进步网www.szjjedu.com
8. 曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)
A．94e2      B．2e2    C．e2    D．e22
9．给出两个命题：p：平面内直线 与抛物线 有且只有一个交点，则直线 与该抛物线相切；命题q：过双曲线 右焦点 的最短弦长是8.则(　　)
A．q为真命题             B．“p 或q”为假命题
C．“p且q”为真命题       D．“p 或q”为真命题来源进步网www.szjjedu.com
10.设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（      ）
A.        B.        C.         D. 
11.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 表示:
则7个剩余分数的方差为（　　）
A．  B．  C．36 D．
11．如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，若点P在平面 内运动，使得△ABP的面积为定值，
则动点P的轨迹是
A.圆       B. 椭圆     C.一条直线    D.两条平行直线
12．设 为双曲线 的左焦点，在 轴上 点的右侧有一点 ，以 为直径的圆与双曲线左、右两支在 轴上方的交点分别为 、 ，则 的值为（    ）
A.            B.            C.             D. 
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
13. 已知x、y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且y^＝0.95x＋a^，则a^＝____

x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
2.6
14.将二进制数101 101(2)化为八进制数，结果为__________．55(8)
15.已知函数 有极值，则实数 的取值范围为      
答案  或
16.右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，
水面宽4米，水位下降1米后，水面宽    米. 
三、解答题：
17.(本小题满分10分)
已知命题p： ，命题q： ， ，
若“  ”是“  ”的必要而不充分条件，求a的取值范围.

18.(本小题满分12分)
抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．来源进步网www.szjjedu.com
解析　依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
则直线方程为y＝－x＋12p. 来源进步网www.szjjedu.com
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，
则由抛物线定义得来源进步网www.szjjedu.com
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2＋x2＋p2，
即x1＋x2＋p＝8.①来源进步网www.szjjedu.com
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由y＝－x＋12p，y2＝2px，消去y，来源进步网www.szjjedu.com
得x2－3px＋p24＝0，所以x1＋x2＝3p.
将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，
同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 来源进步网www.szjjedu.com
综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.
19.(本小题满分12分) 来源进步网www.szjjedu.com
设 的导数为 ，若函数 的图像关于直线 对称，且 。
（1）求 的值；
（2）求函数 的极值。
（1）
（2）极大值为 ，极小值为
20.(本小题满分12分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 名学生，将其成绩（均为整数）
分成六段 ， … 后画出如下部分频率分布直方图．观察图形
的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（ 分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是 分以上（包括 分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
【解析】（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
f4=1-(0.025+0.15*2+0.01+0.005)*10=0.032分
直方图如右所示………………………………．4分来源进步网www.szjjedu.com
（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75来源进步网www.szjjedu.com
所以，抽样学生成绩的合格率是75%                  6分
利用组中值估算抽样学生的平均分
45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6…………………．8分
＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05
=71来源进步网www.szjjedu.com
估计这次考试的平均分是71分…………………………………………．10分
（3）[70,80)，[80,90) ，[90,100]的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。来源进步网www.szjjedu.com
        ……………………14分
21.(本小题满分12分)
已知函数 ，
（1）讨论 单调区间；
（2）当 时，证明：当 时，证明： 。
（1） ， 上是增函数; , 减 增
（2）设 ， ， 增， ，所以
22.(本小题满分12分)
设椭圆M：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝2x＋m交椭圆于A、B两点，来源进步网www.szjjedu.com椭圆上一点P(1，2)，求△PAB面积的最大值．
　(1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e＝ca＝22，圆x2＋y2＝4的直径为4，则2a＝4，得：2a＝4ca＝22b2＝a2－c2⇒a＝2c＝2b＝2，所求椭圆M的方程为y24＋x22＝1.………4分来源进步网www.szjjedu.com
(2)直线AB的直线方程：y＝2x＋m.由y＝2x＋mx22＋y24＝1，得4x2＋22mx＋m2－4＝0，…5分来源进步网www.szjjedu.com
由Δ＝(22m)2－16(m2－4)>0，得－22<m<22，来源进步网www.szjjedu.com
∵x1＋x2＝－22m，x1x2＝m2－44.…………6分
∴|AB|＝1＋2|x1－x2|＝3•x1＋x22－4x1x2
＝3•12m2－m2＋4＝3 4－m22，…………7分来源进步网www.szjjedu.com
又P到AB的距离为d＝|m|3.……………8分
则S△ABC＝12|AB|d＝1234－m22|m|3    ＝12m24－m22＝122m28－m2……10分
≤122•m2＋8－m22＝2，……………12分来源进步网www.szjjedu.com
当且仅当m＝±2∈(－22，22)取等号．………13分
∴(S△ABC)max＝2.来源进步网www.szjjedu.com
23．以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)
A．2,5      B．5,5    C．5,8   D．8,8来源进步网www.szjjedu.com
将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 表示:
则7个剩余分数的方差为（　　）
A．  B．  C．36 D．
教师版高二数学期末考试数学试卷理科
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上）
1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝1表示双曲线”的(　C　) 来源进步网www.szjjedu.com
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是(  D  )
A.椭圆        B.直线      C.圆     D.线段
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是(　A　)
A.14　    B.12      C．2   D．4来源进步网www.szjjedu.com
答案解析　长轴长为2a＝2m，短轴长为2，∴2m＝4.∴m＝14.
4．已知向量a＝(8，12x，x)，b＝(x,1,2)，其中x>0.若a∥b，则x的值为(　B　)
A．8　　　　B．4      C．2   D．0来源进步网www.szjjedu.com
解析　因x＝8,2,0时都不满足a∥b.而x＝4时，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b，∴a∥b.
另解：a∥b⇔存在λ>0使a＝λb⇔(8，x2，x)＝(λx，λ，2λ)⇔λx＝8x2＝λx＝2λ⇔λ＝2x＝4.∴选B. 来源进步网www.szjjedu.com
5．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为(　C　)
A．y2＝8x     B．y2＝－8x    C．x2＝8y     D．x2＝－8y
解析　由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，∴P的轨迹方程为x2＝8y. 来源进步网www.szjjedu.com
6．给出两个命题：p：平面内直线 与抛物线 有且只有一个交点，则直线 与该抛物线相切；命题q：过双曲线 右焦点 的最短弦长是8。则(　B．　) 来源进步网www.szjjedu.com
A．q为真命题     B．“p 或q”为假命题C．“p且q”为真命题  D．“p 或q”为真命题
7．在空间四边形ABCD中，AB→•CD→＋AC→•DB→＋AD→•BC→＝(　B．　) 来源进步网www.szjjedu.com
A．－1   B．0   C．1    D．不确定
思路　数形结合法，用特殊图形(如正四面体)计算，或在一般图形中，选取基向量，用基底表示题中向量，然后再计算．
8.设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（   C    ）
A.        B.        C.         D.  来源进步网www.szjjedu.com

9．.如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，若点P在平面 内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(   B  ) 来源进步网www.szjjedu.com
A.圆       B. 椭圆     C.一条直线    D.两条平行直线
解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线 AB的距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类似为一以AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C与D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！来源进步网www.szjjedu.com
10．设 为双曲线 的左焦点，在 轴上 点的右侧有一点 ，以 为直径的圆与双曲线左、右两支在 轴上方的交点分别为 、 ，则 的值为（ C ）
A.            B.            C.             D. 
解析：对 有 ，特殊情形： 为右焦点， ， 。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知双曲线x2－y2b2(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
答案　2解析　双曲线x2－y2b2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，比较系数得b＝2. 来源进步网www.szjjedu.com
12.椭圆 的长轴长为6，右焦点 是抛物线 的焦点  ，则该椭圆的离心率等于
13．命题“如果x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为________．
[答案]　如果x≠2或y≠－1，则x－2＋(y＋1)2≠0来源进步网www.szjjedu.com
14.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB→，AD→，AA1→两两的夹角均为60°，且|AB→|＝1，|AD→|＝2，|AA1→|＝3，则|AC1→|＝                  A．5   B．6           C．4   D．8来源进步网www.szjjedu.com
【分析】　本题考查向量的模的概念和向量的数量积公式．【答案】　A【解析】　由题知AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→，则|AC1→|2＝|AB→＋BC→＋CC1→|2＝12＋22＋32＋2AB→•BC→＋2AB→•CC1→＋2BC→•CC1→＝14＋2×1×2×12＋2×1×3×12＋2×2×3×12＝25，所以|AC1→|＝5. 来源进步网www.szjjedu.com
15.右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 来源进步网www.szjjedu.com
三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知命题p： ，命题q： ， ，若“  ”是“  ”的必要而不充分条件，求a的取值范围来源进步网www.szjjedu.com
16．解：  ， ，-----4分
∵P是q的充分不必要条件，∴   ，-----------8分
∴ 。-----------12分
18．（本小题满分12分）（1）求与双曲线 共渐近线且过 点的双曲线方程；(2)求与椭圆x24＋y23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．来源进步网www.szjjedu.com
20、【解析】　（1） ………4分
(2)由A1、A2为双曲线的左、右顶点知，A1(－2，0)，A2(2，0)．
A1P方程： ，A2Q方程： ，两式相乘得
，而点P(x1，y1)在双曲线上， ，即
故 即 ………11分
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合，故点A1和A2均不在轨迹E上，
过点 及A2(2，0)的直线l与双曲线只有唯一交点A2，故轨迹E不过点 ，同理轨迹E也不过点 ．
综上分析，轨迹E的方程为 ，x≠0且x≠±2.………13分