2014年天津高考数学(理科)试题及答案解析文本下载版

绝密 ★ 启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的进步网答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
•如果事件 ， 互斥，那么   •如果事件 ， 相互独立，那么
       .
•圆柱的体积公式 .            •圆锥的体积公式 .
其中 表示圆柱的底面面积，          其中 表示圆锥的底面面积，
表示圆柱的高.                       表示圆锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合进步网题目要求的.
（1） 是虚数单位，复数 （　　）来源进步网www.szjjedu.com
    （A）     （B） 　 （C）   （D）
（2）设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（　　）
    （A）2　　  （B）3　  （C）4　　　    （D）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输进步网出的 的值为（　　）
（A）15       （B）105    （C）245      （D）945
（4）函数 的单调递增区间是（　　）
（A）        （B）
（C）        （D） 来源进步网www.szjjedu.com
（5）已知双曲线  的一条渐近线平行于直线 ： ，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为（　　）
（A） 　　      （B）
（C） 　   　（D）
（6）如图， 是圆的内接三角形， 的平进步网分线交圆于点 ，交 于点 ，过点 的圆的切线与 的延长线交于点 .在上述条件下，给出下列四个结论：① 平分 ；② ；③ ；④来源进步网www.szjjedu.com  .
则所有正确结论的序号是（　　）
（A）①②    （B）③④    （C）①②③    （D）①②④
（7）设 ，则|“ ”是“ ”的（　　）
（A）充要不必要条件    （B）必要不充分条件
（C）充要条件　　      （D）既不充要也不必要条件
（8）已知菱形 的边长为2， ，点 分别在边 上， ， .若 ， ，则 （    ）
（A）     （B）     （C）     （D） 来源进步网www.szjjedu.com
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会进步网实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 来源进步网www.szjjedu.com
（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______ .
（11）设 是首项为 ，公差为-1的等差数列， 为其前 项和.若 成等比数列，则 的值为__________.
（12）在 中，内角 所对的边分别是 .已知 ， ，则 的值为_______.
（13）在以 为极点的极坐标系中，圆 和直线 相交于 两点.若 是等边三角形，则 的值为___________.
（14）已知函数 ， .若方程 恰有4个互异的实数根，则实数 的取值范围为__________.
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出进步网文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）来源进步网www.szjjedu.com
已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在闭区间 上的最大值和最小值.


（16）（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能进步网性相同）. 来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）设 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.



（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点.
（Ⅰ）证明  ；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的进步网正弦值；
（Ⅲ）若 为棱 上一点，满足 ，
求二面角 的余弦值.


（18）（本小题满分13分）
设椭圆 （ ）的左、右焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 .已知 .来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆进步网经过点 ，经过原点的直线 与该圆相切. 求直线的斜率. 来源进步网www.szjjedu.com


（19）（本小题满分14分）
已知 和 均为给定的大于1的自然数.设集合 ，集合 .
（Ⅰ）当 ， 时，用列举法表示集合 ；
（Ⅱ）设 ， ， ，其中
来源进步网www.szjjedu.com



（20）（本小题满分14分）
已知函数  ， .已知函数 有两进步网个零点 ，且 .
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）证明   随着 的减小而增大；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅲ）证明   随着 的减小而增大.




参考答案及解析
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D A D C C
（1） 是虚数单位，复数 （　　）
    （A）     （B） 　 （C）   （D）
解：A     .来源进步网www.szjjedu.com
（2）设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（　　）
    （A）2　　  （B）3　  （C）4　　　    （D）5
解：B    作出可行域，如图
结合图象可知，当目标函数通过点 时， 取得进步网最小值3.
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的 的值为（　　）
（A）15       （B）105
（C）245      （D）945
解：B     时， ， ； 时， ， ；
时， ， ， 输出 .
（4）函数 的单调递增区间是（　　）
（A）        （B） 来源进步网www.szjjedu.com
（C）        （D）
解：D     ，解得 或 .由复合函数进步网的单调性知 的单调递增区间为 .
（5）已知双曲线  的一条渐近线平行于直线 ： ，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为（　　）
（A） 　　      （B）
（C） 　   　（D） 来源进步网www.szjjedu.com
解：A   依题意得 ，所以 ， ，双曲线的方程为 .
（6）如图， 是圆的内接三角形， 的平分线进步网交圆于点 ，交 于点 ，过点 的圆的切线与 的延长线交于点 .在上述条件下，给出下列四个结论：① 平分 ；② ；③ ；④ .
则所有正确结论的序号是（　　）来源进步网www.szjjedu.com
（A）①②    （B）③④    （C）①②③    （D）①②④
解：D    由弦切角定理得 ，又 ，所以 ∽ ，所以 ，即 ，排除A、C.
又 ，排除B.
（7）设 ，则|“ ”是“ ”的（　　）
（A）充要不必要条件    （B）必要不充分条件来源进步网www.szjjedu.com
（C）充要条件　　      （D）既不充要也不必要条件
解：C    设 ，则 ，所以 是 上进步网的增函数，“ ”是“ ”的充要条件.
（8）已知菱形 的边长为2， ，点 分别在边 上， ， .若 ， ，则 （    ）
（A）     （B）     （C）     （D）
解：C    因为 ，所以 .
因为 ，所以 ， .
因为 ，所以 ，即   ①
同理可得   ②，①+②得 .
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的进步网意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
解：60    应从一年级抽取 名.
（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______ .来源进步网www.szjjedu.com
解：     该几何体的体积为  .
（11）设 是首项为 ，公差为-1的等差数列， 为其进步网前 项和.若 成等比数列，则 的值为__________.
解：     依题意得 ，所以 ，解得 .
（12）在 中，内角 所对的边分别是 .已知 ， ，则 的值为_______.来源进步网www.szjjedu.com
解：     因为 ，所以 ，解得 ， .
所以 .
（13）在以 为极点的极坐标系中，圆 和直线 相交于 两进步网点.若 是等边三角形，则 的值为___________.来源进步网www.szjjedu.com
解：3    圆的方程为 ，直线为 .
因为 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为 ，代入圆的方程可得 .
（14）已知函数 ， .若方程 恰有4个互异的实数根，则实数 的取值范围为__________.
解： 或
显然 .

（ⅰ）当 与 相切时， ，此时 恰有3个互异的实数根.
（ⅱ）当直线 与函数 相切进步网时， ，此时 恰有2个互异的实数根.
结合图象可知 或 .
解2：显然 ，所以 .
令 ，则 .
因为 ，
所以 .
结合图象可得 或 .

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演进步网算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的最小正周期；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求 在闭区间 上的最大值和最小值.
（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与进步网余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.
（Ⅰ）解：由已知，有
                         
                         
                         
                          .
所以， 的最小正周期 .
（Ⅱ）解：因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数.
， ， .来源进步网www.szjjedu.com
所以，函数 在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 .

（16）（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来进步网自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.
（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的进步网学院”为事件 ，则
.来源进步网www.szjjedu.com
所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为 .
所以， 的最小正周期 .
（Ⅱ）解：随机变量 的所有可能值为0，1，2，3.
  .

所以，随机变量 的分布列是

0 1 2 3

随机变量 的数学期望 .
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点. 来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）证明  ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若 为棱 上一点，满足 ，
求二面角 的余弦值.

（17）本小题主要考查空间两条直线的位进步网置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分. 来源进步网www.szjjedu.com
（方法一）来源进步网www.szjjedu.com
依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得 ， ， ， .由 为棱 的中点，得 .
（Ⅰ）证明：向量 ， ，故 . 所以， .
（Ⅱ）解：向量 ， .
设 为平面 的法向量，则 即
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.于是有
.
    所以，直线 与平面 所成角进步网的正弦值为 .
（Ⅲ）解：向量 ， ， ， .
由点 在棱 上，设 ， .来源进步网www.szjjedu.com
故 .
由 ，得 ，
因此， ，解得 .即 .
设 为平面 的法向量，则 即
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.
取平面 的法向量 ，则
.
易知，二面角 是锐角，所以其余弦值为 .
（方法二）
（Ⅰ）证明：如图，取 中点 ，连接 ， .
由于 分别为 的中点， 故 ，且 ，又由已知，可得 且 ，故四进步网边形 为平行四边形，所以 .来源进步网www.szjjedu.com
    因为 底面 ，故 ，而 ，从而 平面 ，因为 平面 ，于是 ，又 ，所以 .
（Ⅱ）解：连接 ，由（Ⅰ）有 平面 ，得 ，而 ，故 .
又因为 ， 为 的中点，故 ，可得 ，所以 平面 ，故平面 平面 .
所以直线 在平面 内的射影为直线 ，而 ，可得 为锐角，故 为直线 与平面 所成的角.
依题意，有 ，而 为 中点，可得 ，进而 .
故在直角三角形 中， ，因此 .
    所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（Ⅲ）解：如图，在 中，过点 作 交 于点 .
因为 底面 ，故 底进步网面 ，从而 .又 ，得 平面 ，因此 .
在底面 内，可得 ，从而 .在平面 内，作 交 于点 ，于是 .
由于 ，故 ，所以 四点共面.
由 ， ，得 平面 ，故 .
所以 为二面角 的平面角. 来源进步网www.szjjedu.com
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ， .
所以，二面角 的斜率值为 .
（18）（本小题满分13分）
设椭圆 （ ）的左、右焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 .已知 .
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的进步网圆经过点 ，经过原点的直线 与该圆相切. 求直线的斜率. 来源进步网www.szjjedu.com
（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点 的坐标为 .由 ，可得 ，又 ，则 .来源进步网www.szjjedu.com
所以，椭圆的离心率 .
，所以 ，解得 ， .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ， .故椭进步网圆方程为 .
设 .由 ， ，有 ， .
由已知，有 ，即 .又 ，故有
.        ①
又因为点 在椭圆上，故
.         ②
由①和②可得 .而点 不是椭圆的顶点，故 ，代入①得 ，即点 的坐标为 .来源进步网www.szjjedu.com
设圆的圆心为 ，则 ， ，进而圆的半径 .
设直线 的斜率为 ，依题意，直线 的方程为 .
由 与圆相切，可得 ，即 ，
整理得 ，解得 .
所以，直线 的斜率为 或 .
（19）（本小题满分14分）
已知 和 均为给定的大于1的自然数.设集合 ，集合 .
（Ⅰ）当 ， 时，用列举法表示集合 ；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）设 ， ， ，其中 ， . 证明：若 ，则 .
（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前 项和公式，不等式的证明进步网等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.
（Ⅰ）解：当 ， 时， ， .
可得， .来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）证明：由 ， ， ， ， 及 ，可得

     
     
      .来源进步网www.szjjedu.com
    所以， .
（20）（本小题满分14分）
已知函数  ， .已知函数 有进步网两个零点 ，且 .
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）证明   随着 的减小而增大；
（Ⅲ）证明   随着 的减小而增大. 来源进步网www.szjjedu.com
（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问进步网题的能力. 满分14分.
（Ⅰ）解：由 ，可得 .
下面分两种情况讨论：
（1） 时
     在 上恒成立，可得 在 上单调递增，不合题意.
（2） 时，
    由 ，得 .来源进步网www.szjjedu.com
当 变化时， ， 的变化情况如下表：


＋ 0 －

↗ 
↘
这时， 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 .
于是，“函数 有两个零点”等价于如下条进步网件同时成立：
1° ；2°存在 ，满足 ；
3°存在 ，满足 .来源进步网www.szjjedu.com
由 ，即 ，解得 ，而此时，取 ，满足 ，且 ；取 ，满足 ，且 .
所以， 的取值范围是 .来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）证明：由 ，有 .
设 ，由 ，知 在 上单调递增，在 上单调递减. 并且，当 时， ；当 时， .
由已知， 满足 ， . 由 ，及 的单调性，可得 ， .来源进步网www.szjjedu.com
    对于任意的 ，设 ， ，其中 ； ，其中 .
因为 在 上单调递增，故由 ，即 ，可得 ；类似进步网可得 .来源进步网www.szjjedu.com
又由 ，得 .
所以， 随着 的减小而增大.
（Ⅲ）证明：由 ， ，可得 ， .
故 .
设 ，则 ，且 解得 ， .所以，
.    ①
令 ， ，则 .
令 ，得 .来源进步网www.szjjedu.com
当 时， .因此， 在 上单调递增，故对于任意的 ， ，由此可得 ，故 在 上单调进步网递增.
因此，由①可得 随着 的增大而增大.
而由（Ⅱ）， 随着 的减小而增大，所以 随着 的减小而增大.