辽宁阜新市阜蒙县二中2013-2014高二下学期数学(理)期中考试试题

辽宁阜新市阜蒙县二中2013-2014高二下学期数学(理)期中考试试题及答案
第Ⅰ卷  (选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给进步网出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。来源进步网www.szjjedu.com
1．已知集合 ， ，则A∩B＝
A．       B．       C．     D． 
2．设i为虚数单位，则复数 
A．       B．       C．     D．
3．已知袋中有3个红球2个白球，从中任取一个，恰为红球的概率是
A．  B.     C.     D.  
4．设向量 ，若 ，则
A．30°     B．﹣30°      C．150°     D．120°
5．在右边的程序框图中，当程序结束运行时， 的值为
A．5          B．7      C．9         D．11
6．若 服从正态分布 ，若 ，则 ＝（    ）
A．0.1        B．0.2        C．0.4        D．0.8
7．已知抛物线 （p>0）的准线与进步网圆 相切，则p的值为来源进步网www.szjjedu.com
A．10          B．6          C．            D．
8．在 中， 分别为角 的对边，且 ，则
A．      B．     　C．       D．
9．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(    )
A.             B.              C.             D.  
10．在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，则面SCD与面SBA所成二面角的正切值为来源进步网www.szjjedu.com
A．      B．        C．         D． 
11．在各项均为正数的数列{ }中， 为前n项和，  
若 ，则sin ＝
A．         B．        C．        D． 
12．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是减函数。若方程 在区间 上有四个不同的根 ，则
A．－8         B．8          C．4             D．－4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正进步网确答案填在答题卡中的横线上。
13．平面直角坐标系中，点A在圆 上，点B在直线 上，则线段AB的最小值为___________。来源进步网www.szjjedu.com
14．函数 的定义域为____________ 。
15．设变量x,y满足 ，则 的最大值为          。
16．若 ，
则 的值为            。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为 ，且
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）当 时，求 。来源进步网www.szjjedu.com

18．（ 本小题满分12分）等差数列{ }的前9项和等于前4项的和，且 。
（Ⅰ）求通项公式 ；（Ⅱ）求前13项和


19．（本小题满分12分）
在某届大学生运动会期间，组委会在某学院招募了12名男进步网志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如下图所示的茎叶图（单位：cm）:若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不 包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高  个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，
那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X
表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人 
数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。


20．（本小题满分12分）已知椭圆 的长轴长为 ，一个焦点的坐标为（1,0）。直线 与椭圆 交于 两点，点P为椭圆上不同于A,B的任意一点。
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 的斜率 ，P为椭圆的右顶点。求△ABP的面进步网积。
（Ⅲ）若直线AP，BP的斜率存在且分别为 。求 来源进步网www.szjjedu.com

21.（本小题满分12分）设函数f(x)＝(1＋x)2－2ln (1＋x)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的方程f(x)＝x2＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．



请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.（本小题满分10分） 《选修4—1：几何证明选讲》
如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直进步网线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．
求证：OB⊥DF


23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 ，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 。
（Ⅰ）将曲线 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2倍后得到曲线 试写出直线 的直角坐标方程和曲线 的参数方程；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）在曲线 上求一点P，使点P到直线 的距进步网离最大，并求出此最大值。


2 4．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》
已知a和b是任意非零实数。
（Ⅰ）求 的最小值;
（Ⅱ）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

参考答案
一、选择题
1．A；2．A；3．C；4．D；5．D；6．D；7．C；8．B；9．C；10．A；11．B；12．Ｂ
二、填空题
13． ；   14． ；   15．55；    16．1
三、解答题
17．（Ⅰ）4      （Ⅱ）1
18．（Ⅰ） （Ⅱ）
19．（Ⅰ） （Ⅱ）
20．（Ⅰ）    （Ⅱ）      （Ⅲ）
21. (1)函数的定义域为(－1，＋∞)，
因为f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)，来源进步网www.szjjedu.com
所以f′(x)＝2x＋1－1x＋1＝2xx＋2x＋1，
由f′(x)＞0，得x＞0；由f′(x)＜0，得－1＜x＜0，
所以，f(x)的递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．
(2)方程f(x)＝x2＋x＋a，即x－a＋1－2ln(1＋x)＝0，
记g(x)＝x－a＋1－2ln(1＋x)(x＞－1)，
则g′(x)＝1－21＋x＝x－1x＋1，
由g′(x)＞0，得x＞1；由g′(x)＜0，得－1＜x＜1.
所以g(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．
为使f(x)＝x2＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异的实根，
只须g(x)＝0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根，
于是有g0≥0，g1＜0，g2≥0，即－a＋1≥0，2－a－2ln 2＜0，3－a－2ln 3≥0，
解得2－2ln 2＜a≤3－2ln 3，
故实数a的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3]．
22．∵∠AFC＝∠ADC＝90°来源进步网www.szjjedu.com
∴A、C、D、F四点共圆，AC为直径
    ∴∠BDF＝∠BAC
    又∠OBC＝ (180°－∠BOC)＝90°－∠BAC      ∴OB⊥DF．
23.解(Ⅰ) 由题意知，直线 的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分
∵曲线 的直角坐标方程为： ，
∴曲线 的参数方程为： .………………5分
(Ⅱ) 设点P的坐标 ，则点P到直线 的距 离为：
，………………7分
∴当sin(600－θ)=-1时，点P(- ，此时 .…………10分
24.解：（I） 对于任意非零实数a和b恒成立，
当且仅当 时取等号，
  的最小值等于4。  …………5分
（II）    恒进步网成立，来源进步网www.szjjedu.com
故 不大于 的最小值 …………7分
由 （I）可知 的最小值等于4。
实数x的取值范围即为不等式 的解。
解不等式得 …………10分