2013年广东省各市中考数学押轴题部分分类解析flash版

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一、选择题
1. （2013年广东佛山3分）某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图象是【    】
A．      B．     C．     D．
2. （2013年广东广州3分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6 ，则 =【    】

A         B        C         D              
3. （2013年广东茂名3分）如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是【    】

A．15°      B．25°      C．35°       D．45°
4. （2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【    】
A．3       B．4       C．5       D．6

5.（2013年广东深圳3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是【    】

A.            B.            C.          D. 
6. （2013年广东省3分）已知k1＜0＜k2，则函数 和  的图象大致是【    】
A.     B.      C.     D. 

7.（2013年广东湛江4分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为【    】

A.                B.                C.                  D.1
8. （2013年广东珠海3分）如图， ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为【    】

A．36°       B．46°      C．27°      D．63°

二、填空题
1. （2013年广东佛山3分）命题“对顶角相等”的条件是    ▲    ．
2. （2013年广东广州3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为    ▲    .

【答案】（3，2）。
【考点】点的坐标，垂径定理，勾股定理。
【分析】如图，过点P作PH⊥OA于点H，连接OP，则OH=HA。
        ∵点A的坐标为（6，0），∴OH=3。
        又∵OP= ，∴ 。
        ∴点P的坐标为（3，2）。
3.（2013年广东茂名3分）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为　  ▲  　．

4. （2013年广东梅州3分）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是　 ▲ 　．

【答案】 。
【考点】探索规律题（图形的变化类），等腰直角三角形的性质。
5. （2013年广东深圳3分）如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…………按这样的规律下去，第6幅图中有    ▲    个正方形。


6.（2013年广东省4分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是    ▲    (结果保留π).

7. （2013年广东湛江4分）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，5，8，…，顶点依次用 表示，其中 与x轴、底边 与 、 与 、 均相距一个单位，则顶点 的坐标是   ▲   ， 的坐标是   ▲   ．

∴ 是第31个正三角形（从里往外）的右端点，在第四象限。
∵ 的横坐标为： ，由题意知， 的纵坐标为－1，∴ （1，－1）。
      容易发现 、 、 、 、 、 ，这些点都在第四象限，横纵坐标互为相反数，且当脚标大于2时，横坐标为：点的脚标除以3的整数部分加1，
      ∴ 。
8. （2013年广东珠海4分）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是　  ▲  　．

【答案】 。
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即 ，则周长是原来的 ，即为1；
……
以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的 ，即为 。
三、解答题
1. （2013年广东佛山10分）如图①，已知抛物线 经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．

【答案】解：（1）∵抛物线 经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
                ∴ ，解得 。
∴抛物线的函数表达式为 。
（2）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2。
（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1。
又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
而平行四边形A′APP′的面积=1×2=2。
∴阴影部分的面积=2。
2. （2013年广东佛山11分）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．
已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．

（1）把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；
要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．
（2）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．
要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．
解：在表格中作答
分割图形       分割或图形说明
示例
  示例①分割成两个菱形。
②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°。
 
 
【答案】解：（1）在表格中作答：
分割图形 分割或图形说明
  ①分割成两两个等腰梯形．
②两个等腰梯形的腰长都为a，
上底长都为 ，下底长都为 ，
上底角都为120°，下底角都为60°。
  ①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形．
②等边三角形的边长为a，
等腰三角形的腰长为a，顶角为120°．
直角三角形两锐角为30°、60°，三边为a、 、2a．
（2） 如图①，连接BD，取AB中点E，连接DE．
∵AB=2a，E为AB中点，∴AE=BE=a。，
∵AD=AE=a，∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a。
又∵∠BED+∠DEA=180°，
∴∠BED=180°－∠DEA=180°－60°=120°。
又∵DE=BE=a，∠BED=120°，∴∠BDE=∠DBE= （180°－120°）=30°。
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°。
∴Rt△ADB中，∠ADB=90°。
由勾股定理得：BD2+AD2=AB2，即BD2+a2=（2a）2，解得BD= 。
AC= 。

3. （2013年广东广州14分）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.
（1）当OC= 时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞ 时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.
①当D为CE中点时，求△ACE的周长;
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）如图①，连接OD，则 。
∵CD=OA=2，OC= ，
∴ 。
∴ 。
∴△OCD是直角三角形，且∠ODC=900。
∴CD为⊙O的切线。
（2）如图②，连接OE，OD，
∵OD=OE=CD=2，D是CE的中点，
∴OD=OE=CD=DE=2。
∴ 为等边三角形。
∴ 。
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 。
根据勾股定理求得： ， 。

∴△ACE的周长为 。
（3）存在，这样的梯形有2个，(如图③所示)，
连接OE，
由四边形AODE为梯形的定义可知：AE∥OD，
∴ 。
∵OD=CD，∴ 。
∴ ，∴AE=CE。
∵ ，
∴ ， 。
∴  ∽ 。
∴  ，即： 。
∴ 。

【考点】双动点问题，圆的基本性质，切线性质，各类特殊三角形、梯形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理。
【分析】（1）由已知，根据勾股定理的逆定理可得∠ODC=900，从而CD为⊙O的切线。
       （2）由已知，判断△EOC和△EOA都是直角三角形，根据已知和勾股定理可求各边长而得到△ACE的周长。
       （3）由梯形的定义可知：AE∥OD，根据平行线同位角相等的性质，和等腰三角形等边对等角的性质，可证得 ∽ ，从而由比例式可求解。
4. （2013年广东广州14分）已知抛物线 过点A(1，0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。
（1）使用a、c表示b；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线 经过点B，且于该抛物线交于另一点C( ),求当x≥1时y1的取值范围。
【答案】解：（1）∵ 过点A(1，0)，∴  ，即 。
（2）点B在第四象限，理由如下：
∵ 图象经过点A(1，0)，且抛物线不经过第三象限，∴ 抛物线开口方向向上，则有 。
∵ 图象与x轴的相交，则有： 。
由（1） 得 ，即 。
∴  。
∵  ， ∴  ，抛物线与x轴的交点有两个交点。
∵抛物线不经过第三象限，∴ 。
∴ 顶点B落在第四象限。
（3）∵抛物线经过点A(1，0)和点C( )，
∴  ，  解得： 。
∴C( )。
∵  ，∴顶点B的坐标为 。
∵点B  、C( )经过直线 ，
∴  ，解得： 。
∵  ， ∴ 。
将 代入 得： ，解得： 或 。
当 时， ，与题设 不符，舍去。
∴  ， 。
∴抛物线解析式为  (如图所示)。
∴抛物线在（2，－2）取得最小值。
∴ 当x≥1时，y1的取值范围为y1≥－2。


5. （2013年广东茂名8分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F= ，CD=a，请用a表示⊙O的半径；
（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．

【答案】解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。
∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°。
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°。∴OB⊥FB。
∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上。∴BF是⊙O的切线。 
（2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F。
∵CD=a，OA⊥CD，∴CE= CD= a。
∵tan∠F= ，∴ ，即 。
解得 。
连接OC，设圆的半径为r，则 ，
在Rt△OCE中， ，即 ，解得 。
（3）证明：连接BD，
∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F。
又∵∠F=∠F，∴△BDG∽△FBG。
∴ ，即GB2=DG•GF。
∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，即GF2﹣GB2=DF•GF。
　
6. （2013年广东茂名8分）如图，抛物线 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线 经过点B（3，0），
∴ ，解得 。
∴ 。
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣ ， ）。
（2）∵抛物线 的对称轴为直线x=﹣ ，与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），
∴点A的坐标为（﹣6，0）。
又∵当x=0时，y=2，∴C点坐标为（0，2）。
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则 ，解得： 。
∴直线AC的解析式为y= x+2。
∵S△AMC=S△ABC，∴点B与点M到AC的距离相等。
又∵点B与点M都在AC的下方，∴BM∥AC。
设直线BM的解析式为y= x+n，将点B（3，0）代入，得 ×3+n=0，解得n=﹣1。
∴直线BM的解析式为 ．
由 ，解得 ， 。
∴M点的坐标是（﹣9，﹣4）。
（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN﹣CN|的值最大。理由如下：
∵抛物线 与x轴交于点A和点B，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称。
连接BC并延长，交直线x=﹣ 于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大。
设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，
得 ，解得： 。
∴直线BC的解析式为y= x+2。，
当x=﹣ 时，y= ×（﹣ ）+2=3。
∴点N的坐标为（﹣ ，3），d的最大值为 。
（3）连接BC并延长，交抛物线的对称轴x=﹣ 于点N，连接AN，根据轴对称的性质得出AN=BN，并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．运用待定系数法求出直线BC的解析式，再将x=﹣ 代入，求出y的值，得到点N的坐标，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可。
7. （2013年广东梅州10分）如图，已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；
（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；
（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．

                













综上所述，当平行四边形的面积为8时，点P的坐标为（ ，8）或（ ，8）或（ ，4）或（ ，4）。
   （3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴OB=1，OC=2。
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则 ，即 ，
解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2。
②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则 ，即 ，
解得 。
综上所述，线段QD的长为2m﹣2或 。

（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可。
8. （2013年广东梅州11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：探究一：
（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，
则∠CFP=30°。
∴CF=BC•sin30°=3× = 。
∴CP=CF•tan∠CFP= × =1。
过点A作AG⊥BC于点G，则AG= BC= ，
∴PG=CG﹣CP= ﹣1= 。
在Rt△APG中，由勾股定理得： 。
（2）由（1）可知，FC= ．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC= 长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2= 。
过点A过AG⊥BC于点G，则AG= BC= ，
在Rt△AGP1中， ，∴∠P1AG=30°。
∴∠P1AB=45°﹣30°=15°。
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°。
∴∠PAB的度数为15°或75°。
探究二：△AMN的周长存在有最小值。
如答图3所示，连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°。
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC。
∵在△AMD与△CND中， ，
∴△AMD≌△CND（ASA）。∴AM=CN。
设AM=x，则CN=x， ，
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
，
∴△AMN的周长为：AM+AN+MN=   。
当x=  时，有最小值，最小值为 。
∴△AMN周长的最小值为 。
9. （2013年广东深圳9分）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线 经过C、B两点，与x轴的另一交点为D。
（1）点B的坐标为（    ▲    ，    ▲    ），抛物线的表达式为    ▲    .
（2）如图2，求证：BD//AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长。

【答案】解：（1）（6，2）； 。
           （2）证明：令 ，即 ，解得x=2或x=7。
                      ∴D（7，0）。
                      ∴BC=AC= ，BD= ，CD=5。∴ 。
                      ∴∠CBD=900，即BD⊥BC。
                      又∵ AC⊥BC，∴BD//AC。
（3）连接AB，BP，
     ∵AC⊥BC，BC=AC= ，
∴∠ACB=900，∠ABC=450，∠APB= ∠ACB=450，AB= 。
     ∴∠ABQ=∠APB。
     又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB。
∴ ，即 ，解得AP=8。
10. （2013年广东深圳9分）如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）。
（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数 的图像与直线AB相交于C、D两点，若 ，求k的值。
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0<t<10）。

【答案】解：（1）∵直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0），
                ∴ 。
∴ 。
∴当m =10时，△OAB面积最大，最大值是50。
（2）当m =10时，直线AB解析式为 。
      由对称性， ， 。
      ∴ 。∴ 。
      ∵点C 在直线AB上，∴ 。
      ∴ 。
（3）如图，C（9，1），D（1，9）移动后的重叠部分为△O′C′D′，时间t时，点O′的坐标为（t，0）。
    由（2）知， 。
    ∵C′D′∥CD，∴△O′C′D′∽△OCD，△O′C′A∽△OCE。
    ∴ ， 。
    ∴ 。
    ∴S与运动时间t（秒）的函数关系式为 （0<t<10）。
11. （2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证:BE是⊙O的切线。

【答案】解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），
∴∠BCA=∠BAD。
（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，∴ 。
∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13。
∴ ，解得： 。
（3）证明：连接OB，OD，
    在△ABO和△DBO中，∵ ，
∴△ABO≌△DBO（SSS）。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。
12. （2013年广东省9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，
∠FDE=90°，DF=4，DE= 。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。
（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=    ▲    度；
（2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围。

【答案】解：（1）15。
（2）如题图3所示，当EF经过点C时， 。
（3）在三角板DEF运动过程中，分三段讨论：
      ①当0≤x≤2时，如答图1所示，
设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN。
又∵ ，
∴NF+BF=MN，即 。
∴ 。
∴ 。
②当2＜x≤ 时，如答图2所示，
过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN。
又∵ ，
∴NF+BF=MN，即 。
∴ 。
∴ 。
③当 ＜x≤6时，如答图3所示，
由BF=x，则AF=AB-BF=6－x，
设AC与EF交于点M，则 ，
∴ 。
综上所述，y与x的函数解析式为：
。
13. （2013年广东湛江10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家１小时50分钟，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．
（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；
（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．


【考点】一次函数的应用，直线上点的坐标与方程的关系，待定系数法的应用，分类思想的应用。
【分析】（1）根据图象，小明1小时骑车20 km，从而由路程、时间和速度的关系求出小明骑车的速度。图象中线段AB表明小明游玩的时间段。
　　　　（2）求出点C、D 的坐标，根据待定系数法求解。
14. （2013年广东湛江12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y轴与A点，交x轴与B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（１）∵抛物线的顶点为（3，4），∴可设此抛物线的解析式为： 。
∵此抛物线过点A（0，－5），∴ ，解得 。
∴此抛物线的解析式为： ，即 。
（２）此时抛物线的对称轴与⊙C相离。证明如下：
令 ，即 ，得ｘ=1或ｘ=5，
∴B（1，0）,C（5，0）。
令ｘ=1，得 ，∴A（0，－5）。
如图，过点C作CE⊥BD于点E，作抛物线的对称轴交ｘ轴于点F，
∵AB⊥BD，∴∠ABO=900－∠ABO=∠CBE。
∵∠AOB=∠BEC=900，∴△AOB∽△BEC。
∴ 。
又∵OB=1，OA=5，∴根据勾股定理，得 。
又∵BC=4，∴ ，即 。
∵CF=2，∴ ，即 。
∴抛物线的对称轴与⊙C相离。
（3）存在。
假设存在满足条件的点 ，
∵点 在抛物线 上，∴ 。
又 ，
，
。
①当∠A=900时，在 中，由勾股定理，得  ，
∴ ，整理，得 。
∴ ，解得 或 ，∴ 或 。
∴点P为（7，－12）或（0，－5）（舍去）。
②当∠C=900时，在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，整理，得 。
∴ ，解得 或 ，∴ 或 。
∴点P为（2，3）或（5，0）（舍去）。
综上所述，满足条件的点P的坐标为（7，－12）或（2，3）。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，实数的大小比较，直线与圆的位置关系，解一元二次方程，分类思想的应用。
【分析】（1）由于已知抛物线的顶点为（3，4），故应用待定系数法，设顶点式求解。
　　　　（2）过点C作CE⊥BD于点E，应用△AOB∽△BEC求得CE的长，与点C到抛物线的对称轴的距离比较即可。
　　　　（3）用点P的横坐标表示三边的长，分∠A=900和∠C=900两种情况讨论即可。
15. （2013年广东珠海9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当 ，BP′= 时，求线段AB的长．

【答案】解：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。
∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）。∴∠CBP=∠ABP。
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。
∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E。
在△APD和△P′AE中，
∵ ，
∴△APD≌△P′AE（AAS）。∴AE=DP。∴AE=CP。
（3）∵ ，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。
在Rt△AEP′中， ，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE。
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。
∴ 。即 。∴ 。
在Rt△ABP′中， ，即 。
解得AB=10。
16. （2013年广东珠海9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

【答案】解：（1）设抛物线l的解析式为 ，
将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入，得
，解得 。
∴抛物线l的解析式为 。
（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N，
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO。
∵矩形OABC中，AD∥OC，∴∠ADO=∠DOM。
∴∠A′DO=∠DOM。∴DM=OM。
设DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，
在Rt△OA′M中，∵OA′2+A′M2=OM2，
∴ ，解得 。
∵ ，∴ 。
∴ 。
∴A′点坐标为（ ， ）。
易求直线OA′的解析式为 ，
当x=4m时， ，∴E点坐标为（4m， ）。
当x=4m时， ，
∴抛物线l与直线CE的交点为（4m， ）。
∵抛物线l与线段CE相交，∴ 。
∵m＞0，∴ ，解得 。
（3）∵ ，
∴当x=m时，y有最大值 。
又∵ ，
∴当 时， 随m的增大而增大。
∴当m= 时，顶点P到达最高位置， 。
∴此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（ ， ）。