广东深圳三中2013——2014学年高三下03月份月考数学(文科)试题及

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广东深圳三中2013——2014学年高三下03月份月考数学(文科)试题及答案
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．来源进步网www.szjjedu.com
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．来源进步网www.szjjedu.com
参考公式：锥体体积公式为 ，其中 为锥体的底面积、 为锥体的高；
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）来源进步网www.szjjedu.com
1．函数 的定义域为（    ）
A.[0,1]        B.(0,1)        C.[0,1]       D.(0,1]
2.复数 （其中 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（  ）来源进步网www.szjjedu.com
A.第一象限     B.第二象限      C.第三象限       D.第四象限
3.中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2011年至2013年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为（   ）来源进步网www.szjjedu.com
A.36          B.35         C.32          D.30
4.设 为奇函数，当 时， ，则
A.         B.          C.           D.
5.某几何体的三视图如右图所示，它的体积为（  ）
A.          B.          C.        D.
6.已知函数 ，则 的（     ）
A.最小值为3   B.最大值为3   C.最小值为    D.最大值为
7.如果执行右面的程序框图，则输出的结果是（     ）
A.10         B.22       C.46        D.94
8.已知向量 ，若 ，
则实数 的值为（    ）
A.       B.       C.        D. 
9．某一双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列，则该双曲线
的离心率是（     ）
A．            B．            C．             D．
10.定义函数 ，以下几个命题中
①存在实数 ，使 ；②任意 ，都有 ;
③存在实数 ，使 ;④任意 ，都有
正确的命题个数为
A.1             B.2            C.3            D.4
二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分20分 ）
（一）必做题（11-13题）
11.设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则                  
12．在边长为2的正方形 内部任取一点 ，则满足 的概率为_______．
13.设命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是                
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14（坐标系与参数方程）已知曲线 的极坐标方程分别为 ， 则曲线 与 交点的极坐标为             
15．（几何证明选讲选做题）如图， 的直径 ， 是 延长线上的一点，过点 作 的切线，切点为 ，连接 。若 ，则           

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）

16. （本小题满分12分）
某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）求高三（1）班全体女生的人数及分数在 之间的女生人数；
（2）若要从分数在 之间的试卷中任取两份分析女学生的失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在 之间的概率。
17．（本小题满分12分）
已知向量 ， ，且 。
（1）求 的解析式和它的最小正周期；  （2）求函数 在 上的值域。
18．（本小题满分14分）
如图6，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 为 的中点，且△ 为正三角形．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求点 到平面 的距离．

19．（本小题共14分）
设数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．

20．（本小题满分14分）
在圆 上任取一点 ，设点 在 轴上的正投影为点 ．当点 在圆上运动时，动点 满足 ，动点 形成的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）已知点 ，若 是曲线 上的两个动点，且满足 ，求 的取值范围．

21．（本小题满分14分）
已知函数 ．
（1）若 在 处取得极值，求实数 的值；
（2）求函数 在区间 上的最大值．

答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A D D C A D D
二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分.
11.  ；    12． ；    13.  ；   14.  ；    15.  .
三、解答题
16、解：（1）设全班女生人数为 ，             ………1分
由茎叶图知，分数在 人数2人，则         ………2分
                   ……3分
                        ………4分
分数在 之间的女生人数为：25-21=4人         ………5分
（2）设分数在 之间的4份女生试卷为 ，
分数在 之间的2份女生试卷为          ………6分
  从 之间的6份女生试卷中任取两份，所有可能情况为：
，
                                                           共15个基本事件，  ………8分 
记 {至少有一份分数在 之间}     ………9分
则事件 包含的基本事件有:
共9个基本事……10分
      ………11分
即至少有一份分数在 之间的概率为 .       ………12分
17.（1） 
           …………3分
          
           …………4分
           …………6分
      它的最小正周期
（2） ， ， …9分， 当 时， 有最大值 ，当 时， 有最小值 …11分， 函数 的值域是 …12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：在正 中， 是 的中点，所以 ．………………………1分
因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ，故 ．……2分
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．…………………………………4分
因为 平面 ，所以 ．……………5分
又 平面 ，
所以 平面 ．………………………………7分
（2）解法1：设点 到平面 的距离为 ，………8分
因为 ， 是 的中点，所以 ．
因为 为正三角形，所以 ．………………………9分
因为 ，所以 ．
所以 ．…………………10分
因为 ，
由（1）知 ，所以 ．
在 中， ，
所以 ．…………………………11分
因为 ，………………………………………………………12分
所以 ，
即 ．………………………………………………13分
所以 ．
故点 到平面 的距离为 ．… …………………………………………14分
解法2：过点 作直线 的垂线，交 的延长线于点 ，……………………8分
由（1）知， 平面 ， ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．
所以  为点 到平面 的距离．………………9分
因为 ， 是 的中点，所以 ．
因为 为正三角形，所以 ．……10分
因为 为 的中点，所以 ．
以下给出两种求 的方法：
方法1：在△ 中，过点 作 的垂线，垂足为点 ，
则 ．…………………………………………………………11分
因为 ，…………………………………12分
所以 ．
方法2：在 △ 中， ．    ①………11分
在 △ 中，因为 ，
所以 ，
即 ．                          ②………………12分
由①，②解得 ．
故点 到平面 的距离为 ．………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）因为 ， ，        ①
所 以当 时， ．………………………………………………1分
当 时， ，        ② ………………2分
  ①－②得， ．……………………………4分
所以 ．………………………………………5分
因为 ，适合上式，
所以  ．………………………6分
（2）由（1）得 ．
所以  …………………8分
．…………………10分
所以
……………12分
．………………14分
20．（本小题满分14分）
（1）解法1：由 知点 为线段 的中点．……………1分
设点 的坐标是 ，则点 的坐标是 ．……………2分
因为点 在圆 上，
所以 ．…………………3分
所以曲线 的方程为 ．………………4分
解法2：设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
由 得， ， ．………………1分
因为点  在圆 上， 所以 ． ①…………2分
把 ， 代入方程①，得 ．……………3分
所以曲线 的方程为 ．……………………4分
（2）解：因为 ，所以 ．…………………5分
所以 ．………………………7分
设点 ，则 ，即 ．……………8分
所以
．…………………………10分
因为点 在曲线 上，所以 ．……………………11分
所以 ．………………………………13分
所以 的取值范围为 ．…………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）因为 ， 
所以函数 的定义域为 ．……………………………1分
且 ．………………………………2分
因为 在 处取得极值，
所以 ．
解得 ．………………………………………………3分
当 时， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以 是函数 的极小值点．
故 ．………………………………………4分
（2）因为 ，
所以 ．……………………………………5分
由（1）知 ．
因为 ，所以 ．
当 时， ；当 时， ．
所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减．…………7分
①当 时， 在 上单调递增，
所以 ．……………………9分
②当 即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ．…………………11分
③当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 ．……………………13分
综上所述：
当 时，函数 在 上的最大值是 ；
当 时，函数 在 上的最大值是 ；
当 时，函数 在 上的最大值是 ．………14分