2014年北京市高考文科数学试卷及答案文本下载版

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷
文科数学
  本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题  共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合 ， ，则 （    ）来源进步网www.szjjedu.com
  A.             B.               C.                D.
2.下列函数中，定义域是 且为增函数进步网的是（    ）
  A.               B.                 C.              D.
3.已知向量 ， ，则 （    ）
  A.                 B.                  C.                D.
4.执行如图所示的程序框图，输出的 值为（    ）来源进步网www.szjjedu.com
  A.                      B.                     C.                     D.

5.设 、 是实数，则“ ”是“ ”的（   ）
  A.充分而不必要条件                               B.必要而不必要条件
  C.充分必要条件                                   D.既不充分不进步网必要条件
6.已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（    ）
  A.                 B.                C.                D.
7.已知圆 和两点 ， ，若圆 上存在点
，使得 ，则 的最大值为（     ）来源进步网www.szjjedu.com
  A.                      B.                   C.                    D.
8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率
与加工时间 （单位：分钟）满足的函数关系 （ 、 、 是常数），下图
记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得进步网到最佳加工时间为（    ）
  A. 分钟            B. 分钟           C. 分钟           D. 分钟

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若 ，则         .
10.设双曲线 的两个焦点为 ， ，一个顶点式 ，则 的方程为      .
11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱进步网的棱长为          .
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12.在 中， ， ， ，则         ；           .
13.若 、 满足 ，则 的最小值为          .
14.顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这
项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工进步网完成制作，两件工艺品都
完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
                 工序
        时间
原料 粗加工 精加工
原料



原料



则最短交货期为           工作日.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列.
（1）求数列 和 的通项公式；来源进步网www.szjjedu.com
（2）求数列 的前 项和.



16.（本小题满分13分）函数 的部分图象进步网如图所示.
（1）写出 的最小正周期及图中 、 的值；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.





17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱 中，侧棱进步网垂直于底面， ， ， 、 分别为 、 的中点. 来源进步网www.szjjedu.com
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.


18. （本小题满分13分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数进步网据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：来源进步网www.szjjedu.com

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估进步网计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）


19. （本小题满分14分）
已知椭圆C： .
（1） 求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线 ，点B在椭圆C上，且 ，求线段AB长度的最小值.

20. （本小题满分13分）
已知函数 .
（1）求 在区间 上的最大值；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若过点 存在3条直线与曲线 相切，求t的取值范围；
（3）问过点 分别存在几条直线与曲线 相切？（只进步网需写出结论）

参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．2    10．  11．     12．     13．1 14．42
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（共13分）
【解析】⑴ 设等差数列 的公差为 ，由题意得
所以 ．
设等比数列 的公比为 ，由题意得
，解得 ．来源进步网www.szjjedu.com
所以 ．
从而
⑵ 由⑴知 ．
数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．
所以，数列 的前 项和为 ．
16．（共13分）
【解析】⑴  的最小正周期为
．

⑵ 因为 ，所以 ．
于是当 ，即 时， 取得最大值0；
当 ，即 时， 取得最小值 ．
17．（共14分）来源进步网www.szjjedu.com
解：
（Ⅰ）在三棱柱 中， 底进步网面 ．
所以 ．
又因为 ．
所以 平面 ．
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）取 中点 ，连结 ， ．
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，且 ．
因为 ，且 ，
所以 ，且 ．
所以四边形 为平行四边形．
所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
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（Ⅲ）因为 ， ， ，
所以 ．
所以三棱锥 的体积
．
18．（共13分）
解：
（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
．
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时进步网间少于12小时的概率为 ．
（Ⅱ）课外阅读时间落在组 的有17人，频率为 ，所以
．来源进步网www.szjjedu.com
课外阅读时间落在组 的有25人，频率为 ，
所以 ．
（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
19．（共14分）
解：
（Ⅰ）由题意，椭圆 的标准方程为 ．
所以 ， ，从而 ．
因此 ， ．
故椭圆 的离心率 ．
（Ⅱ）设点 ， 的坐标分别为 ， ，其中 ．
因为 ，
所以 ，来源进步网www.szjjedu.com
即 ，解得 ．
又 ，所以

．
因为 ，且当 时等号进步网成立，所以 ．
故线段 长度的最小值为 ．来源进步网www.szjjedu.com
20.（共13分）
解：
（Ⅰ）由 得 .
令 ，得 或 .
因为 ， ， 
所以  在区间 上的最大值为  .
（Ⅱ）设过点 的直线与曲线 相切于点 
则 且切线斜率为 
所以切线方程为  ，
因此  . 来源进步网www.szjjedu.com
整理得 .
设 
则“过点 存在3条直线与进步网曲线 相切”等价于“ 有3个不同零点”.
.
与 的情况如下：


0 
1 



0 
0 


↗

↘

↗

所以， 是 的极大值， 是 的极小值．
当 ，即 时，此时 在区间 和 上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点．
当 ，即 时，此时 在区间 和 上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点．来源进步网www.szjjedu.com
当 且 ，即 时，因为 ，所以  分别在区间 ， 和 上恰有 个零点.由于 在区间 和 上单调，所以 分别在区间 和 上恰有1个进步网零点.
综上可知，当过点 存在 条直线与曲线 相切时， 的取值范围是  .
（Ⅲ）过点  存在 条直线与曲线 相切；
过点  存在 条直线与曲线 相切；
过点  存在 条直线与曲线 相切：