2014高考数学模拟试卷（六）

2014高考数学模拟试卷（六）
    本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（15）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：
样本数据 的标准差                         锥体体积公式
                
其中 为样本平均数                             其中 为底面面积， 为高
柱体体积公式                                  球的表面积，体积公式[来源:Z。
                                           
其中 为底面面积， 为高                           其中R为球的半径
第I卷
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合M＝{x|x2＜4 ，N＝{x|x2－2x－3＜0 ，则集合M∩N＝(    )
A．{x|x＜－2      B．{x|x＞3}      C．{x|－1＜x＜2   D．{x|2＜x＜3
2．已知 为虚数单位, 则进步网复数 的虚部为（      ）
A. 0 B.            C. 1         D.
3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何来源进步网www.szjjedu.com
   体的表面积为 
A．144 B．124    C．104 D．84

4．在同一平面直角坐标系中，画出函数
的部分图像如下，则（   ）
A．B．C．    D．
5. 设变量 满足约束条件 ，则目标函进步网数 ＝ 的取值范围为（   ）
A．    B．      C．       D． 来源进步网www.szjjedu.com
6．执行如图的程序框图，如果输入 ，则输出的 （    ）
A．      B.       C.      D.  
7. 对任意实数 函数 的图象都不经过点 则
点 的轨迹是（  ）
A．两条平行直线       B. 四条除去顶点的射线
   C. 两条抛物线          D. 两条除去顶点的抛物线  
8. 如下图所示，两射线 与 交于点 ，下列5个向量中，
①   ②  ③  
④   ⑤
若以 为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（   ）个.
A．1       B. 2       C. 3       D.4
9. 已知数列 满足 ，且 ，对任意的
，总有 成立，则 在 内的可能值有（    ）
A．1个            B．2个           C．3个          D．4个
10．已知定义域为区间 的函数 ，其图进步网象是一条连续不断地曲线，且满足下列条件：① 的值域为 ，且 ；②对任意不同的 、 ，都有 ，那么函数 在区间[ ， ]上（     ）来源进步网www.szjjedu.com
A．没有零点         B.  有且只有一个零点  
C．恰有两个不同的零点      D．有无数个不同的零点

第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。
11．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，调查了100名
同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方
图（如图）.则这100名同学中学习时间在6至8小时
的同学为       人.


12. 设圆 的切线 与 轴的正半轴, 轴的正半轴分别交于点 , ，当 取最小值时，切线 的方程为           . 来源进步网www.szjjedu.com
13. 图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形。在下图中，将第1个三角形的三边中点为顶点的三角形着色,将第 个图形中的每个未着色三角进步网形的三边中点为顶点的三角形着色,得到第 个图形, 这样这些图形中着色三角形的个数依次构成一个数列 ，则数列 的通项公式为              . 


14. 由函数 的图像在点 处的切
线 直线 直线 （其中 是自然对数的底
数）及曲线 所围成的曲边四边形(如图中的阴
影部分)的面积          . 来源进步网www.szjjedu.com
15.（在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则
按所做的第一题给分）
  （1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线 的焦点的极坐标为            .
  （2）（不等式选讲）若不等式 的解集为 ，且 ，则a的取值集合为                 .

三.解答题：本大题共75分。其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
16．（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a, b, c分别为进步网内角A, B, C的对边，且
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（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求表达式 的取值范围．

17．（本小题满分12分）已知四棱锥 （如图）底面是边长为2的正方形.
平面 ， ， , 分别为 , 的中点， 于 .
     （Ⅰ）求证：平面 ⊥平面 ；
     （Ⅱ）求二面角 的余弦值.


18．（本小题满分12分）某投资公司在2011年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损 ，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；来源进步网www.szjjedu.com
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能损失 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 、 和 ．
（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个进步网合理的项目，并说明理由；
（Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
（参考数据： ， ）

19．（本小题满分12分）已知函数 ，其中  ．
（I）若函数 有三个不同零点，求 的取值范围；
（II）若函数 在区间 上不是单调函数，求 的取值范围.

20.（本题满分13分）如图, 双曲线 与椭圆 的左、右顶点分别为 、 第一象限内的点 在双曲线 上，线段 与椭圆 交于点  为坐标原点.
（I）求证：  为定值（其中 表示进步网直线 的斜率， 等意义类似）；
（II）证明： 与 不相似. 来源进步网www.szjjedu.com
（III）设满足 的正数 的最大值是 ，求 的值；




21．（本题满分14分）已知数列 的前 和 满足：  数列 的通项公式为 
（I）求数列 的通项公式；来源进步网www.szjjedu.com
（II）试比较 与 的大小；
（III）某圆的圆心C在 轴上，问点列
中是否至少存在三点落在圆C上?说明理由.

参考答案与评分标准
第I卷
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 【答案】C
【解析】 .
2．【答案】D
【解析】
3．【答案】A
【解析】如图，此几何体是正四棱锥，其底面边长为8，侧面的斜高为5,从而表面积为

4．【答案】D来源进步网www.szjjedu.com
【解析】由 知
函数 的图像的振幅、最小正进步网周期分别为
对照图形便知选D.
5. 【答案】C
【解析】如图，可行域为 的边界及内部，双曲线  与可行域有公共点时
6. 【答案】C
【解析】
7. 【答案】B
【解析】设 ，则对任意实数 函数
的图象都不经过点
关于 的方程 没有实数解 或
所以点 的轨迹是除去两点 的两条平行直线 与
8. 【答案】A来源进步网www.szjjedu.com
【解析】设 在阴影区域内，则射线 与线进步网段 有公共点，记为 ，则存在实数 使得 ，且存在实数 使得 ，从而 ，且 .只有②符合.
9. 【答案】B
【解析】
①若
由 得 ，且 ，故 ，此时经检验对任意的 ，总有 .
②若
由 得 ，此时经检验对任意的 ，总有 .
故 或 .
10．【答案】B来源进步网www.szjjedu.com
【解析】由①知
设 ，由②知
函数 在区间[ ， ]上是减函数，从而函数 在区间[ ， ]上有且只有一个零点。
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。
11．【答案】30

【解析】
12. 【答案】
【解析】设 ，则切线 的方程为 ,
由 得 ，
当且仅当 时，上式取等号，故 ，此时进步网切线 的方程为
13. 【答案】 
【解析】 当 时

也可由不完全归纳法猜得. 来源进步网www.szjjedu.com
14. 【答案】
【解析】 , 

15. （在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第一题给分）
（1）【答案】
【解析】 ,其焦点的进步网直角坐标为 对应的极坐标为
（2）【答案】
【解析】如图，


三.解答题：本大题共75分。其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
16． 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 …………1分
即  ， …………3分
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      …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： 设
得
…………8分

函数 在区间 上是增进步网函数，
…………10分
又

故表达式 的取值范围是 …………12分

17．方法一:（Ⅰ）证明：∵ 平面 ， 平面 ,
∴ .
∵  , 分别为 , 的中点,且四边形 是正方形, 来源进步网www.szjjedu.com
∴ 
∵ 平面 , 平面 ,且
∴ 平面 . …………………………………3分
平面 ,
   ∴平面 ⊥平面 .  ……………………4分
（Ⅱ）解:由（Ⅰ） 平面 , 及 平面 , 平面
知  
∵平面 平面
∴ 为二面角 的平面角.  …………………11分
在 中,  , 
 
故二面角 的余弦值为   …………12分来源进步网www.szjjedu.com

方法二: 解：∵四棱锥 的底面是边长为2的正方形, 且 平面 ，
∴以 为原点,射线 分别为 轴的正半轴,可建立空间直进步网角坐标系(如图).
∴
  , 分别为 , 的中点,
∴
（Ⅰ）
∴ ，  
∵ 平面 , 平面 ,且
∴ 平面 . ………………………………………………3分
（Ⅱ）设平面 的一个法向量为 ，
则 
取 .

  ,  平面 , 平面 ,
∴ 平面 ,  是平面 的一个法向量.
由图形知二面角 的平面角 是锐角,
故
所以二面角 的余弦值为   …………12分
18．解：（1）若按“项目一”投资，设获利 万元，则 的分布列为
.………………………2分
         　           
若按“项目二”投资，设获利 万元，则 的分布列为：来源进步网www.szjjedu.com

（万元）.             　  ………4分
又 ，     　   …………5分
，……6分
所以 ， ，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．                   ……8分
（2）假设 年后总资产可以翻一番，依题意： ，即 ，………9分
两边取对数得： ．
所以大约4年后，即在2014年底总资产可以翻一番．      ……………11分
答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．…12分

19．解: （I）因为 ，所以函数 有三个不同零点的充要条件是关于 的方程 有两个不相等的非零实根，…………1分
即 ，且 .来源进步网www.szjjedu.com
故 的取值范围是 …………5分
（II）解法一： ，函数 在区间 上不是单进步网调函数的充要条件是关于 的方程 有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间 内. …………7分
① 若 ，则  .
方程 的两个实根 均不在区间 内，所以 …………8分
② 若 ，则  .
方程 在区间 内有实根 ，所以 可以为 …………9分
③ 若方程 有一个实根在区间 内，另一个实根在区间 外，
则 ，即 …………10分来源进步网www.szjjedu.com
④ 若方程 在区间 内有两个不相等的实根，则
…………11分
综合①②③④得 的取值范围是 …………12分
（II）解法二： ，
函数 在区间 上不是单调函数的充要条件是关于 的方程
在区间 上有实根且 …………7分
关于 的方程 在区间 上有实根的充进步网要条件是
使得 …………8分
使得
令 有 ，记
…………10分
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以有
即 .…………11分来源进步网www.szjjedu.com
又由  得 且
故 的取值范围是 …………12分
（II）解法三：记函数 在区间 上的最大值为 ，
最小值为
函数f(x)在区间 上不单调 函数f(x)在区间 上不单调
   …………7分
因为函数 的图像是开口向上、对称轴为 的抛物线，
所以 ，
…………9分
当 时， ，
…………11分

故 的取值范围是 …………12分来源进步网www.szjjedu.com
（II）解法四： 求出当函数 在区间 上是单调函数时， 的取值范围为集合 ，
则当函数 在区间 上不是单调函数时， 的取值范围为集合 …………12分
20.（I）解：由已知得 .
设 ，知 均在第一象限,
且 .
则 …………3分

在同一直线上, 
故 …………4分
（II）证明: 设 ,则 且 ,
解得 …………6分

  ,函数 在区间 上是减函数,
因此当 时, ,即
故 与 不相似. …………9分来源进步网www.szjjedu.com
（III）解: 由 得 ，由 得 .

…………13分

21．解：（I）解法一：

两式相减得 …………………………2分
又  来源进步网www.szjjedu.com
即数列 是首项为 公比为 的等比数列,其通项公式是                    ……………………………4分
解法二: 
即数列 是首项为 公比为 的等比数列,其通项公式是 …………………………2分
当 时, 
又          ……………………………4分
解法三:用数学归纳法证明
（II）(1)
当 时,  ……………………………6分
(2)当 时, 
……………………………7分
(3)当 时,

即       ……………………………9分
（III）假设点列 中存在三点
  落在圆C上.
因圆心C在 轴上,故可设圆C的进步网方程为: . …………10分
从而            ①
          ②
            ③
由① ②, ② ③得来源进步网www.szjjedu.com
  
即         ④
         ⑤
由④ ⑤得

整理得 ,
……………………………12分
作函数 由
知函数 是增函数. 来源进步网www.szjjedu.com
  产生矛盾.
故点列 中不存在三点落在圆C上.     ………………………14分