北京市朝阳区2013—2014学年高三上数学(文科)期末考试试题及答案

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北京市朝阳区2013—2014学年高三上数学(文科)期末考试试题及答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 进步网www.szjjedu.com
1.已知集合 ,集合 ,则 =进步网www.szjjedu.com
A.      B.       C.         D. 
2.为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象上所有的点
A. 向右平行移动2个单位长度进步网www.szjjedu.com
B．向右平行移动 个单位长度
C. 向左平行移动2个单位长度
D. 向左平行移动 个单位长度
3. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为进步网www.szjjedu.com
A. 6       B. 24      C.       D.  进步网www.szjjedu.com
4.已知函数 则 是 成立的
A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件      C. 充要条件      D. 既不充分也不必要条件
5. 若实数 满足 ，则 的最小值为进步网www.szjjedu.com
A.              B.                C.               D. 
6. 已知 ，且 ，则 等于      进步网www.szjjedu.com
A.             B.              C.           D. 
7. 若双曲线 ： 与抛物线 的准线交于 两点，且 ，则 的值是
A.                 B.              C.            D.  
8. 函数 的图象为曲线 ，函数 的图象为曲线 ，过 轴上的动点 作垂直于 轴的直线分别交曲线 ， 于 两点，则线段 长度的最大值为
A．2         B．4           C． 5           D． 进步网www.szjjedu.com
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.已知数列 为等差数列，若 ， ，则公差           ．
10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是         ；表面积是          .
进步网www.szjjedu.com
11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在 小时内的人数为__________．进步网www.szjjedu.com
12.直线 ： 被圆  截得的弦 的长是      . 进步网www.szjjedu.com
13.在△ 中， ， ，则     ； 的最小值是     .
14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的        .（写出满足条件的图形序号）
（1）正三角形  （2）梯形   （3）直角三角形  （4）矩形进步网www.szjjedu.com
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的值；进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求函数 的最小正周期及单调递增区间.
16. （本题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：进步网www.szjjedu.com
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 58 55 76 92 88
乙 65 82 87 85 95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于90分的概率.
17. （本题满分14分）进步网www.szjjedu.com
如图，在三棱锥 中，平面 平面 , ， ．设 ， 分别为 ， 中点.
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ;
（Ⅲ）试问在线段 上是否存在点 ，使得过三点 , , 的平面内的任一条直线都与平面 平行？若存在，指出点 的位置并证明；若不存在，请说明理由．进步网www.szjjedu.com
18.（本题满分13分）
已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值.
19.（本题满分14分）
已知椭圆 两焦点坐标分别为 , ，一个顶点为 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）是否存在斜率为 的直线 ，使直线 与椭圆 交于不同的两点 ，满足 . 若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.
20. （本题满分13分）进步网www.szjjedu.com
已知数列 的通项 ， .
(Ⅰ)求 ；
（Ⅱ）判断数列 的增减性,并说明理由；进步网www.szjjedu.com
(Ⅲ) 设 ，求数列 的最大项和最小项.
数学答案进步网www.szjjedu.com
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A B D D D
二、填空题：
题号 9 10 11 12 13 14
答案    ，
    2,  （1）（2）（4）
三、解答题：
15.解：（Ⅰ）依题意 
  .  进步网www.szjjedu.com
则 .      ………….7分
（Ⅱ） 的最小正周期 .
当 时，即 时, 为增函数.
则函数 的单调增区间为 , .         …….13分 
16 . 解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好.                          ……….6分进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）设事件 ：抽到的成绩中至少有一个高于90分.
从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下： 进步网www.szjjedu.com
共25个.
事件 包含的基本事件有
共9个.
所以 ，即抽到的成绩中至少有一个高于90分的概率为 .    ….13分
17. 证明：进步网www.szjjedu.com
（Ⅰ）因为点 是 中点，点 为 的中点，
所以 ∥ ．
又因为 面 ， 面 ，
所以 ∥平面 ．                                   ………….4分
（Ⅱ）因为平面 面 , 平面 平面 = ,又 平面 ， ，所以 面 .
所以 ．进步网www.szjjedu.com
又因为 ，且 ，
所以 面 ．                             …….9分 
（Ⅲ）当点 是线段 中点时，过点 , , 的平面内的任一条直线都与平面 平行．
  取 中点 ，连 ，连 .
由（Ⅰ）可知 ∥平面 ．
  因为点 是 中点，点 为 的中点，
  所以 ∥ ．进步网www.szjjedu.com
又因为 平面 ， 平面 ，
  所以 ∥平面 ．
  又因为 ，
  所以平面 ∥平面 ，
  所以平面 内的任一条直线都与平面 平行．              
故当点 是线段 中点时，过点 , , 所在平面内的任一条直线都与平面 平行．                                              ……….14分 
18. 解：（Ⅰ）已知函数 ，进步网www.szjjedu.com
所以 ， ，
又 ，所以 .
又 ，进步网www.szjjedu.com
所以曲线 在点 处的切线方程为 . …….…..…5分
（Ⅱ） ，
令 ，则 .
（1）当 时， 在 上恒成立，所以函数 在区间 上单调递增，所以 ；进步网www.szjjedu.com
（2）当 时，在区间 上， ，在区间 上， ，所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 是 ]
上唯一极值点，所以 ；
（3）当 时，在区间 上， （仅有当 时 ），所以  在区间 上单调递减
所以函数 .进步网www.szjjedu.com
综上所述，当 时，函数 的最小值为 ，
时，函数 的最小值为           …………13分
19.解：（Ⅰ）设椭圆方程为 ，则依题意
， ，所以 进步网www.szjjedu.com
于是椭圆 的方程为                    …….4分
（Ⅱ）存在这样的直线 .  依题意，直线 的斜率存在
设直线 的方程为 ，则进步网www.szjjedu.com
由 得
因为 得 ……………… ①
设 ，线段 中点为 ，则
于是 进步网www.szjjedu.com
因为 ，所以 .
若 ，则直线 过原点， ，不合题意.
若 ，由 得， ，整理得 ………………②
由①②知， ， 所以 进步网www.szjjedu.com
又 ，所以 .                                    ……….14分
20．（Ⅰ） , .     ……….2分
（Ⅱ）               
                .进步网www.szjjedu.com
则当 时， ，则 时，数列 为递增数列， ;
当 时， ，数列 为递减数列， .      ……….7分
(Ⅲ)由上问可得， ， .
令 ，即求数列 的最大项和最小项. 进步网www.szjjedu.com
则   .进步网www.szjjedu.com
则数列 在 时递减，此时 ，即 ；进步网www.szjjedu.com
数列 在  时递减，此时 ，即 .进步网www.szjjedu.com
因此数列 的最大项为 ，最小项为 .      …….….13分