广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几

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广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编
立体几何
一、选择题来源进步网www.szjjedu.com
1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 所示,其中俯视图是中心角为 的扇形,则该几何体的体积为
A．B．C．D．
答案：D来源进步网www.szjjedu.com
2、（惠州市2014届高三第三次调研考）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（   ）
答案：D来源进步网www.szjjedu.com
3、（江门市2014届高三调研考试）
如图1， 、 分别是正方体 中 、 上的动点（不含端点），则四边形 的俯视图可能是
A．         B．         C．         D．
答案：B来源进步网www.szjjedu.com
4、（揭阳市2014届高三学业水平考试）图（1）中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为
A.         　　 B.C.            D.  来源进步网www.szjjedu.com
答案：C
5、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视  图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为(    )
A. 8       　　　　 B. 4来源进步网www.szjjedu.comC.              D.
答案：C
6、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）某几何体的三视图如图2所示(单位：cm), 则其体积和表面积分别是（    ）
A.   和       B.   和 C.   和       D.   和  来源进步网www.szjjedu.com
答案：A
7、（中山市2014届高三上学期期末考试）把边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面 ，形成三棱锥 的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （    ）
A．                  B．          c．             　　　D．  来源进步网www.szjjedu.com
答案：B
8、（珠海市2014届高三上学期期末）一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（　　）
A、 　　　　　B、1　　　　C、 　　　　　D、2来源进步网www.szjjedu.com
答案：A
9、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将 沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如图），则下列命题中正确的为(　C　)
A. 直线AB⊥直线CD, 且直线AC⊥直线BD
B. 直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDE
C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D. 平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE
答案：C来源进步网www.szjjedu.com
10、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是
答案：A来源进步网www.szjjedu.com
二、填空题
1、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为       . 来源进步网www.szjjedu.com
答案：8
2、（江门市2014届高三调研考试）若 、 是不重合的平面， 、 、 是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是         ．（写出所有真命题的序号）
① 若 ， ，则 来源进步网www.szjjedu.com
② 若 ， ，则
③ 若 ， ，则
④ 若 ， 且 ， ，则 来源进步网www.szjjedu.com
答案：②③（对1个3分，错1个 分）
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三、解答题
1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））
如图 ,矩形 中, , , 、 分别为 、 边上的点,且 , ,将 沿 折起至 位置(如图 所示),连结 、 、 ,其中 .来源进步网www.szjjedu.com
(Ⅰ)求证: 平面 ；      
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知, , , 来源进步网www.szjjedu.com
   在 中, ,所以  ……………2分
   在图 中,易得 ,    ………3分
在 中, ,所以  …………………4分
又 , 平面 , 平面 ,所以 平面 . ………………6分
（注：学生不写 扣1分）
(Ⅱ)方法一:以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,则 , ,
, ,所以 , , , ……8分来源进步网www.szjjedu.com
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,解得
令 ,得 ,……………………………………………12分来源进步网www.szjjedu.com
设直线 与平面 所成角为 ,则  .来源进步网www.szjjedu.com
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ……………………14分
方法二:过点 作 于 ,来源进步网www.szjjedu.com
由(Ⅰ)知 平面 ,而 平面
所以 ,又 , 平面 , 平面 ,来源进步网www.szjjedu.com
所以 平面 ,
所以 为直线 与平面 所成的角.  ………………………9分
在 中,   …………………………11分
在 中,由等面积公式得  ………………………………13分
在 中,  来源进步网www.szjjedu.com
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………………………14分
2、（广州市2014届高三1月调研测试）
在如图6的几何体中，平面 为正方形，平面 为等腰梯形， ∥ ， ， ， ．来源进步网www.szjjedu.com
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（1）证明1：因为 ， ，来源进步网www.szjjedu.com
在△ 中，由余弦定理可得 ．……………………………2分
所以 ．
所以 ．………………………………………………………………3分
因为 ， ， 、 平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 平面 ．……………………………………………………………4分
证明2：因为 ，设  ，则 ．
在△ 中，由正弦定理，得 ．……………………1分
因为 ，所以 ．来源进步网www.szjjedu.com
整理得 ，所以 ．……………………………………………2分
所以 ．………………………………………………………………3分
因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ．…………………………………………………4分
（2）解法1：由（1）知， 平面 ， 平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ．
因为平面 为正方形，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．……………………………6分
取 的中点 ，连结 ， ，
因为 是等腰梯形，且 ， ，来源进步网www.szjjedu.com
所以  ．所以△ 是等边三角形，且 ．………………7分
取 的中点 ，连结 ， ，则 ．………8分
因为 平面 ， ，所以 ．来源进步网www.szjjedu.com
因为 ，所以 平面 ． ……………9分
所以 为直线 与平面 所成角． ……………10分
因为 平面 ，所以  ．…………………11分
因为 ， ，……………………………12分
在 △ 中， ．………………………………13分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．……………………………14分
解法2：由（1）知， 平面 ， 平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ．
因为平面 为正方形，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．……………………………………6分
所以 ， ， 两两互相垂直，
建立如图的空间直角坐标系 ．………………………7分
因为 是等腰梯形，且 ，
所以 ．来源进步网www.szjjedu.com
不妨设 ，则 ， ， ，
， ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ， ， ．………………………9分
设平面 的法向量为 ，则有 即 来源进步网www.szjjedu.com
取 ，得  是平面 的一个法向量．…………………………11分
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ．………………13分
    所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．………………………………14分
3、（增城市2014届高三上学期调研）来源进步网www.szjjedu.com
如图3，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，
△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于 。
（1)求证： ⊥EF; 来源进步网www.szjjedu.com
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴DA⊥AE, DC⊥CF,                           2分
∴DA/⊥A/E, DA/⊥A/F,                          3分
又A/E∩A/F=A/，                               4分
∴DA/⊥平面A/EF，                            5分
又EF 平面A/EF，                             6分
∴DA/⊥EF。                                   7分
（2）取EF的中点M，连A/M,DM，则在△A/EF中，
∵A/E=AE=1，A/F=CF=1，来源进步网www.szjjedu.com
∴A/M ⊥EF，                                 8分
∴DE=DF= ，
∴DM⊥EF                                         9分来源进步网www.szjjedu.com
所以∠A/MD是二面角 的平面角，          10分
在△BEF中，BE=BF=1，BE⊥BF，来源进步网www.szjjedu.com
∴EF= ,∴A/M= ,又A/D=1，                      11分
∵DA/⊥平面A/EF，∴A/D ⊥A/M，又A/D=2，∴DM= = ,      12分
∴cos∠A/MD= ，                             13分
所以二面角 的平面角的余弦值是 。         14分来源进步网www.szjjedu.com
方法2：在△BEF中，BE=BF=1，BE⊥BF，∴EF= ,       7分来源进步网www.szjjedu.com
∵A/E= A/F=1，∴A/E2+ A/F2=EF2
∴A/E⊥A/F,                                               8分
所以以A/为坐标系的原点，A/E,A/D,A/F分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，       9分
则A/（0,0,0），D(0，2，0),E(1，0，0),F(0，0，1)                 10分
∴ （-1,2,0）， （-1,0,1），
设平面DEF的法向量是 ，则 ● 0， ● 0，  11分
∴ ，取 =（2,1,2），                               12分来源进步网www.szjjedu.com
又 (0，2，0)是平面A/EF的法向量，
与 夹角的余弦值是 。                    13分
所以二面角 的平面角的余弦值是 。                   14分
4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）来源进步网www.szjjedu.com
.如图，四边形 是正方形， 平面 ，
  ， ， ， ， 分别
为 ， ， 的中点．
（1）求证：  平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
  (1）证明： , 分别为 ， 的中点，
   .    ……………………1分来源进步网www.szjjedu.com
又  平面 ，  平面 ，    …………………3分
  平面 .     …………………………………5分
（2）解: 平面 ，  ， 平面
平面  ， .
  四边形 是正方形， .
以 为原点,分别以直线 为 轴,  轴, 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设    ……………………7分
,
  ，  ，  ，  ，  ， ,
, .
， ，  分别为 ， ， 的中点，来源进步网www.szjjedu.com
  ，  ，  , ,  ………8分
（解法一)设 为平面 的一个法向量，则 ,来源进步网www.szjjedu.com
即 ，令 ，得 .         …………10分
设 为平面 的一个法向量,则 ,来源进步网www.szjjedu.com
即 ，令 ，得 .          ……………12分来源进步网www.szjjedu.com
所以 = = .          …………………………………13分
所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）.  ………14分
（解法二)  ， ,
是平面 一个法向量.         …… ……………………10分来源进步网www.szjjedu.com
， ,
是平面平面 一个法向量.     …… ………………12分来源进步网www.szjjedu.com
     ……… … ……………13分
平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）.    ………14分
（解法三) 延长 到 使得 连 来源进步网www.szjjedu.com
，  ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是正方形，
， 分别为 ， 的中点，
  平面 ，  平面 ，   平面 .        ………7分来源进步网www.szjjedu.com
平面  平面 平面  ………9分
故平面 与平面 所成锐二面角与二面角 相等.     … …10分
  平面  平面
平面  是二面角 的平面角.   …12分来源进步网www.szjjedu.com
                        … …………13分
平面 与平面 所成锐二面角的大小为 （或 ）.    … …………14分
5、（惠州市2014届高三第三次调研考）来源进步网www.szjjedu.com
如图，平行四边形 中， ， ， ，沿 将 折起，使二面角 是大小为锐角 的二面角，设 在平面 上的射影为 ．来源进步网www.szjjedu.com
（1）求证： ； 
（2）当 为何值时，三棱锥 的体积最大？最大值为多少？
解: (1)∵ 平面 ， ，…1分
      ∵ ， …3分
        …4分来源进步网www.szjjedu.com

又   ∴ ，     ……5分
……6分
∴ . ……7分来源进步网www.szjjedu.com
（2）由题知 为 在平面 上的射影，
∵ ， 平面 ，∴ ，
∴ ，        …………8分来源进步网www.szjjedu.com
     ………9分               
           ………10分
  ，                             ………12分
当且仅当 ，即 时取等号，     ………13分来源进步网www.szjjedu.com
∴当 时，三棱锥 的体积最大，最大值为 ．  ……14分
6、（江门市2014届高三调研考试）
如图2，直三棱柱 中， ， ，棱 ， 、 分别是 、 的中点．来源进步网www.szjjedu.com
⑴ 求证： 平面 ；
⑵ 求直线 与平面 所成角 的正弦值．来源进步网www.szjjedu.com
证明与求解：⑴ ， 底面，
……1分， ， ……2分，因为 ， ， ，所以 平面 ……3分， ……4分，因为 ，所以 平面 ……5分
⑵（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系……6分，
则 、 、 ……7分，
、 ……8分，来源进步网www.szjjedu.com
、 、 ……9分，
设平面 的一个法向为 ，则 ……10分，来源进步网www.szjjedu.com
即 ，取 ……11分，来源进步网www.szjjedu.com
所以 ……12分， ……13分。
（方法二） ， ， ……6分，所以 ， ， ……7分，由⑴知 ， ，所以 平面 ……8分。来源进步网www.szjjedu.com
延长 到 ，延长 到 ，使 ，连接 、 ……9分，在 中， ， ， ……10分，
……11分， 来源进步网www.szjjedu.com
是平面 的法向量，由所作知 ，从而 ，所以 ……13分。来源进步网www.szjjedu.com
其他方法，例如将直三棱柱补成长方体，可参照给分。

7、（揭阳市2014届高三学业水平考试）来源进步网www.szjjedu.com
如图（5），已知 为不在同一直线上的三点，且 ，
.
(1)求证:平面 //平面 ；来源进步网www.szjjedu.com
(2)若 平面 ，且 , ,
求证：A1C丄平面AB1C1
(3)在（2）的条件下，求二面角C1-AB1 -C的余弦值. 来源进步网www.szjjedu.com
解：（1）证明：∵ 且 来源进步网www.szjjedu.com
∴四边形 是平行四边形，------------------------------------------------------1分
∴  ,∵ 面 ，  面
∴ 平面 ，-----------------------------------------------------3分来源进步网www.szjjedu.com
同理可得 平面 ,又 ,
∴平面 //平面 -----------------------------------------------------------------------------4分
(2)证法1：
∵ 平面 ， 平面 ∴平面  平面 ，----------5分
平面  平面 = ，来源进步网www.szjjedu.com
∵ , ,    ∴  ∴   --------6分
∴ 平面 ,---------------------------------------------------7分
∴ ，∵ ∴ 来源进步网www.szjjedu.com
又 , 得 为正方形，∴ ---------8分
又 ,
∴A1C丄平面AB1C1--------------------------9分
【证法2：∵ , ,    ∴  ∴ ，-----------5分
∵ 平面 ，   ∴ 平面 ---------------------------------6分
以点C为原点，分别以AC、CB、CC1所在的直线为x、y、z轴建立空间
直角坐标系如图示，由已知可 ,
,来源进步网www.szjjedu.com
则 , ------------------7分
∵    ∴  ---------8分
又 ∴ 平面 .--------------------9分】
(3)由（2）得 ,---------------------------------------------10分
设平面 的法向量 ，则由 得 ，来源进步网www.szjjedu.com
令 得 ------------------------------12分来源进步网www.szjjedu.com
由（2）知 是平面 的法向量，∴ ,
即二面角C1-AB1 -C的余弦值为 .----------------------14分
8、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△ ，使得平面 ⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证： 平面ABD；来源进步网www.szjjedu.com
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；来源进步网www.szjjedu.com
证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
              沿直线BD将△BCD翻折成△
              可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，来源进步网www.szjjedu.com
即 ，            
    ．       ………………2分
    ∵平面 ⊥平面 ，平面  平面 = ， 平面 ，
    ∴ 平面 ．     ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面ABD，且 ，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系 ．   ………………（6分）
则 ， ， ， ．
∵E是线段AD的中点，来源进步网www.szjjedu.com
∴ ， ．
在平面 中， ， ，
设平面 法向量为 ，
∴  ，即 ，
令 ，得 ，故 ．………………（9分）
设直线 与平面 所成角为 ，则来源进步网www.szjjedu.com
．………………（10分）
∴ 直线 与平面 所成角的正弦值为 ．      ………………（11分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面 的法向量为 ，来源进步网www.szjjedu.com
      而平面 的法向量为 ，………………（12分）
∴  ，  ………………（13分）                                  
      因为二面角 为锐角，来源进步网www.szjjedu.com
所以二面角 的余弦值为 ． ………………（14分）
9、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）
如图4，在四棱锥 ， 平面 ， ，四边形 是直角梯形中， ．来源进步网www.szjjedu.com
（1）求证:  平面 ；（2）求二面角 的余弦值．

（1）证明：∵ 平面 ，  ∴ ．（1分）  
又∵ ，∴        （2分）来源进步网www.szjjedu.com
过C作 ，交AD于E，则 （3分）
∴ ，（4分）
在 中， ，∴ ．（5分）
又∵ ，∴ 平面 ．（6分）来源进步网www.szjjedu.com

（2）（方法一）∵ ，∴ 平面 ．（7分） 
过 作 于 ，连结 ，可知 ．        （8分）来源进步网www.szjjedu.com
∴ 是二面角 的平面角．                 （9分）
设 ，则 ， ．
∽ ， ， ．               （11分）
∴ ，                         （12分）来源进步网www.szjjedu.com
∴ ．即二面角 的余弦值为 ． （14分）
10、（中山市2014届高三上学期期末考试）来源进步网www.szjjedu.com
如图，在底面是矩形的四棱锥 中，
⊥平面 ，  ， .
是 的中点，
（Ⅰ）求证：平面 ⊥平面 ；              
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值

如图，在底面是矩形的四棱锥 中，
⊥平面 ， ， . 是来源进步网www.szjjedu.com
的中点，
（Ⅰ）求证：平面 ⊥平面 ；              
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值
17．解法一：（Ⅰ） ， ，
.  ---------------------------------------------------------------------------------（2分）
,     .
     而 ,     平面 来源进步网www.szjjedu.com
.                               ………………………（4分）

.               ………………………（5分）
（Ⅱ）连结 、 ，取 中点 ， 连结  ， 则 ,
∵ 平面 ，   ∴ 平面 .
过 作 交 于 ，连结 ，来源进步网www.szjjedu.com
则  就是二面角 所成平面角.         ………………………（7分）
由 ，则 .
在 中，    解得  .
因为 是 的中点，所以 .          …………（8分）
而 ，由勾股定理可得 .         ………………………（9分）
.             ………………………（10分）
（Ⅲ）延长 ，过 作 垂直 于 ，连结 ，来源进步网www.szjjedu.com
又∵ ，∴ ⊥平面 ，                      
过 作 垂直 于 ， 则 ,
所以 平面 ,  即 平面 ，来源进步网www.szjjedu.com
所以 在平面 内的射影是 ， 是直线与平面所成的角.
………………………（12分）  
  .
.……………（14分）
解法二：以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则 (0，0，0) ,    (2，0，0),     (2，4，0) ,    (0，4，0) ，来源进步网www.szjjedu.com
(0，2，1) ,    (0，0，2) .                                ……………………（2分）
∴ ＝(2，0，0) ,      ＝(0，4，0) ,       ＝(0，0，2) ,     ＝(－2，0，0) ,
＝(0，2，1) ,     ＝(2，4，0) .                     　　 ……………………（3分）
（Ⅰ） ,   .
又 ,   .             　
  ………………………（5分）
,  , 
而 ,
∴平面 ⊥平面 .　………（7分）
（Ⅱ）设平面 的法向量 = ,令 ，则 .
由 即 来源进步网www.szjjedu.com
∴ = .                              ………………………（9分）
平面 的法向量 ＝(0，0，2) ,    .
所以二面角 所成平面角的余弦值是 .    ……………………（11分）
（Ⅲ）因为平面的法向量是 = ，而 ＝(－2，0，0) .
所以   .       ………………………（13分）
直线 与平面 所成角的正弦值  .      ………………………（14分）

11、（珠海市2014届高三上学期期末）
如图，在三棱柱 中，四边形 为菱形， ，四边形 为矩形，若 ， ， 来源进步网www.szjjedu.com
（1）求证： 面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
解：（1）在 中 ， ， ，满足 ，所以 ，即
又因为四边形 为矩形，所以 来源进步网www.szjjedu.com
又 ，所以 来源进步网www.szjjedu.com
又因为 ，所以
又因为四边形 为菱形，所以
又 ，所以 来源进步网www.szjjedu.com
（2）过 作 于 ，连接
由第（1）问已证
来源进步网www.szjjedu.com

又 ，所以 ，
又因为 ，所以 来源进步网www.szjjedu.com
所以， 就是二面角 的平面角在直角 中， ， ， ， 
在直角 中， ， ， ，所以
12、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）来源进步网www.szjjedu.com
（本题共2小题,第(Ⅰ)小题7分,第(Ⅱ)小题7分，满分14分）
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(Ⅰ)求平面ABCD与平面 A1BE所成二面角的平面角的正弦值；
(Ⅱ)请问：在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解：设正方体的棱长为1，如图所示，以AB→，AD→，AA1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得B(1，0，0)，E0，1，12，A(0，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，所以BE→＝－1，1，12，BA1→＝(－1，0，1) 来源进步网www.szjjedu.com
设 ＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，………………4分
则由 •BA1→＝0， •BE→＝0，得－x＋z＝0，－x＋y＋12z＝0，来源进步网www.szjjedu.com
所以x＝z，y＝12z.取z＝2，得 ＝(2，1，2)．取平面ABCD的一个法向量为 ，
则 ， 来源进步网www.szjjedu.com
即所求二面角的平面角的正弦值为 。………………………………………………………8分

(Ⅱ) 在棱C1D1上存在一点F(F为C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.证明如下：
设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1) 又B1(1，0，1)，所以B1F→＝(t－1，1，0)，由(Ⅰ)知，平面A1BE的一个法向量为 ＝(2，1，2)．而B1F⊄平面A1BE，
于是B1F∥平面A1BE⇒B1F→•n＝(t－1，1，0)•(2，1，2)＝0⇒2(t－1)＋1＝0⇒t＝12⇒F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在一点F(F为C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.………14分来源进步网www.szjjedu.com
13、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）　如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA＝AB＝BC＝2AO＝2，BO＝ 。
　　（1）证明：PA⊥BO；
（2）求二面角A－BP－D的余弦值。

答案：
证明：⑴ 在 中， ，则 ，来源进步网www.szjjedu.com
       ∴  ⊥ .                                          …………2分
     ∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ .
     又  平面 ， 平面 ，且 ，∴ ⊥平面 .  4分
     又 平面 ，∴ ⊥ .                       …………6分
解：⑵ 如图，过 作 于 ，连接 、 ．…………7分
   ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
   ∴平面 ⊥平面 .来源进步网www.szjjedu.com
   又平面  平面 ， 平面 ，
    ⊥ ，∴ ⊥平面 ，即 ⊥ .   ………9分
   又 ， ， 平面 ，且 ，
   ∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ， ⊥ ，   
   ∴ 为二面角 的平面角. 来源进步网www.szjjedu.com                          ………11分
   ∵ ，且 为等腰梯形，∴ ， ，
   ∴ ，则 ，                       …………12分
则 .                                   ………13分
       在 中， ，
       ∴二面角 的余弦值为 .                          ……14分
      另解：向量法来源进步网www.szjjedu.com
       如图建立空间直角坐标系 .
       由已知， ，∴ . 
       ∵等腰梯形 ， ， ，∴  ，
    ∴ ， ， ， ，                 …………8分
       ∴ ， ， ， .
       设平面 的法向量为 ，来源进步网www.szjjedu.com
       则    
     令 ，∴  ，即 .……10分
       设平面 的法向量为 ，
       则 来源进步网www.szjjedu.com
     令 ，∴ ，即 .   ……12分
       设二面角 的大小为 ，由图可知 是钝角，
       ∴ ，来源进步网www.szjjedu.com
       ∴二面角 的余弦值为 .   ………14分